Question

【题目】已知：如图，在△中，，是边上的中线，于点，与交于点.

（1）求证：；

（2）过点作交的延长线于点.求证：

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）由三线合一可证BD=CD，然后通过证明△BDH∽△ADC，即可证明结论成立；

（2）连接CH，由等腰三角形的性质可证∠ABH=∠ACH.根据平行线的性质定理得到∠BFC=∠FBA，从而∠BFC=∠ECH；然后可证△CFH∽△ECH，并根据相似三角形的性质定理与等量代换得到结论.

（1）∵，是边上的中线，

∴AD⊥BC，BD=CD,

∴∠ACD+∠CAD=90°.

∵,

∴∠EBD+∠ACB=90°,

∴∠CAD=∠CBD,

∵∠BDH=∠CDH=90°,

∴△BDH∽△ADC,

∴,

∴;

（2）如图所示，连接CH.

∵AD⊥BC，BD=CD,

∴AD垂直平分BC，

∴BH=CH,

∴∠HBD=∠HCD,

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB,

∴∠ABH=∠ACH.

∵AB∥CF，

∴∠BFC=∠FBA.

∴∠BFC=∠ECH.

在△CFH与△ECH中，

∵∠BFC=∠ECH，∠CHE=∠CHF，

∴△CFH∽△ECH，

∴CH:HE=HF:CH.

又∵BH=CH，

∴BH2=HE·HF.