Question

【题目】如图，已知一次函数y=﹣x+4的图象是直线l，设直线l分别与y轴、x轴交于点A、B．

（1）求线段AB的长度；

（2）设点M在射线AB上，将点M绕点A按逆时针方向旋转90°到点N，以点N为圆心，NA的长为半径作⊙N．

①当⊙N与x轴相切时，求点M的坐标；

②在①的条件下，设直线AN与x轴交于点C，与⊙N的另一个交点为D，连接MD交x轴于点E，直线m过点N分别与y轴、直线l交于点P、Q，当△APQ与△CDE相似时，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）AB=5；（2）①M(6,-4)；②（0，14）或（0，-6）．

【解析】

（1）由一次函数解析式容易求得A、B的坐标，利用勾股定理可求得AB的长度；

（2）①根据同角的三角函数得：tan∠OAB=，设EM=3x，AE=4x，则AM=5x，得M（3x，-4x+4），证明△AHN≌△MEA，则AH=EM=3x，根据NG=OH，列式可得x的值，计算M的坐标即可；

②如图2，先计算E与G重合，易得∠QAP=∠OAB=∠DCE，所以△APQ与△CDE相似时，顶点C必与顶点A对应，可分两种情况进行讨论：

i）当△DCE∽△QAP时，证明△ACO∽△NCE，列比例式可得CO=，根据三角函数得：tan∠QNA=tan∠DNF=，AQ=20，则tan∠QAH=tan∠OAB=，设QH=3x，AH=4x，则AQ=5x，求出x的值，得P（0，14）；

ii）当△DCE∽△PAQ时，如图3，先证明B与Q重合，由AN=AP可得P（0，-6）．

（1）当x=0时，y=4，

∴A（0，4），

∴OA=4，

当y=0时，-x+4=0，

x=3，

∴B（3，0），

∴OB=3，

由勾股定理得：AB=5；

（2）①如图1，过N作NH⊥y轴于H，过M作ME⊥y轴于E，

tan∠OAB=，

∴设EM=3x，AE=4x，则AM=5x，

∴M（3x，-4x+4），

由旋转得：AM=AN，∠MAN=90°，

∴∠EAM+∠HAN=90°，

∵∠EAM+∠AME=90°，

∴∠HAN=∠AME，

∵∠AHN=∠AEM=90°，

∴△AHN≌△MEA，

∴AH=EM=3x，

∵⊙N与x轴相切，设切点为G，连接NG，则NG⊥x轴，

∴NG=OH，

则5x=3x+4，

2x=4，

x=2，

∴M（6，-4）；

②如图2，由①知N（8，10），

∵AN=DN，A（0，4），

∴D（16，16），

设直线DM：y=kx+b，

把D（16，16）和M（6，-4）代入得：

，

解得：，

∴直线DM的解析式为：y=2x-16，

∵直线DM交x轴于E，

∴当y=0时，2x-16=0，

x=8，

∴E（8，0），

由①知：⊙N与x轴相切，切点为G，且G（8，0），

∴E与切点G重合，

∵∠QAP=∠OAB=∠DCE，

∴△APQ与△CDE相似时，顶点C必与顶点A对应，

分两种情况：

i）当△DCE∽△QAP时，如图2，∠AQP=∠NDE，

∵∠QNA=∠DNF，

∴∠NFD=∠QAN=90°，

∵AO∥NE，

∴△ACO∽△NCE，

∴，

∴，

∴CO=，

连接BN，

∴AB=BE=5，

∵∠BAN=∠BEN=90°，

∴∠ANB=∠ENB，

∵EN=ND，

∴∠NDE=∠NED，

∵∠CNE=∠NDE+∠NED，

∴∠ANB=∠NDE，

∴BN∥DE，

Rt△ABN中，BN=，

sin∠ANB=∠NDE=，

∴，

∴NF=2，

∴DF=4，

∵∠QNA=∠DNF，

∴tan∠QNA=tan∠DNF=，

∴，

∴AQ=20，

∵tan∠QAH=tan∠OAB=，

设QH=3x，AH=4x，则AQ=5x，

∴5x=20，

x=4，

∴QH=3x=12，AH=16，

∴Q（-12，20），

同理易得：直线NQ的解析式：y=-x+14，

∴P（0，14）；

ii）当△DCE∽△PAQ时，如图3，

∴∠APN=∠CDE，

∵∠ANB=∠CDE，

∵AP∥NG，

∴∠APN=∠PNE，

∴∠APN=∠PNE=∠ANB，

∴B与Q重合，

∴AN=AP=10，

∴OP=AP-OA=10-4=6，

∴P（0，-6）；

综上所述，△APQ与△CDE相似时，点P的坐标的坐标（0，14）或（0，-6）．