【题目】如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,F是线段AC上一点,过点A的⊙F交AB于点D,E是线段BC上一点,且ED=EB,则EF的最小值为_______________.
【答案】
【解析】
先取EF得中点O,连接DE、DE、DC,所以OC=EF,由AF=DF,BE=DE,得到∠A=∠ADF,∠B=∠BDE,从而∠ADF+∠BDE=∠A+∠B=90°,所以∠EDF=90°,因此OD=
EF,得到EF=OC+OD,因此当C、O、D三点在同一直线上,且CD⊥AB时,OC+OD最短,由OE=OF,OC=OD,∠C=90°得到四边形CEDF为矩形,于是过点C作CH⊥AB,此时点D与H重合,EF=OC+OD=CD=CH最短,由∠AFD=∠BED=90°,可知∠A=∠B=45°,从而CH为
AB=
,故EF的最小值为
取EF得中点O,连接DE、DE、DC,
∵∠C=90°,
∴OC=EF,∠A+∠B=90°,
∵AF=DF,BE=DE,
∴∠A=∠ADF,∠B=∠BDE,
∴∠ADF+∠BDE=∠A+∠B=90°,
∴∠EDF=90°,
∴OD=EF,
∴EF=OC+OD,
当C. O、D三点在同一直线上,且CD⊥AB时,OC+OD最短,
∵OE=OF,OC=OD,
∴四边形CEDF为平行四边形,
∵∠C=90°,
∴四边形CEDF为矩形,
于是过点C作CH⊥AB,此时点D与H重合,EF=OC+OD=CD=CH最短,
∴∠AFD=∠BED=90°,
∴∠A=∠B=45°,
CH=AB=
,
∴EF的最小值为.
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【题目】如图,已知一次函数y=﹣x+4的图象是直线l,设直线l分别与y轴、x轴交于点A、B.
(1)求线段AB的长度;
(2)设点M在射线AB上,将点M绕点A按逆时针方向旋转90°到点N,以点N为圆心,NA的长为半径作⊙N.
①当⊙N与x轴相切时,求点M的坐标;
②在①的条件下,设直线AN与x轴交于点C,与⊙N的另一个交点为D,连接MD交x轴于点E,直线m过点N分别与y轴、直线l交于点P、Q,当△APQ与△CDE相似时,求点P的坐标.
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=45°,△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的,连接BE、CF相交于点D.
(1)求证:BE=CF;
(2)当四边形ABDF为菱形时,求CD的长.
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E是BC边的中点,点P在线段AD上,过P作PF⊥AE于F,设PA=x.
(1)求证:△PFA∽△ABE;
(2)当点P在线段AD上运动时,设PA=x,是否存在实数x,使得以点P,F,E为顶点的三角形也与△ABE相似?若存在,请求出x的值;若不存在,请说明理由;
(3)探究:当以D为圆心,DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点时,请直接写出x满足的条件: .
备用图
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【题目】已知:Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示,P(3,4)为OB的中点,点C为折线OAB上的动点,线段PC把Rt△OAB分割成两部分。
问:点C在什么位置时,分割得到的三角形与Rt△OAB相似(注:在图上画出所有符合要求的线段PC,并求出相应的点C的坐标).
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为5,O是AB边的中点,点E是正方形内一动点,OE=2,将线段CE绕C点逆时针旋转90°得CF,连OF,线段OF的最小值为_____.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,AB=4,E为BC上一点,F为CD上一点,且AE=AF.设△AEF的面积为y,CE=x.
(第11题)
(1)求y关于x的函数表达式.
(2)当△AEF为正三角形时,求△AEF的面积.
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【题目】如图,在△ABC 中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的角平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F
(1)求证:EO=FO;
(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?并证明你的结论.
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