Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，F是线段AC上一点，过点A的⊙F交AB于点D，E是线段BC上一点，且ED=EB，则EF的最小值为_______________.

Answer 1

【答案】

【解析】

先取EF得中点O，连接DE、DE、DC，所以OC=EF，由AF=DF，BE=DE，得到∠A=∠ADF，∠B=∠BDE，从而∠ADF+∠BDE=∠A+∠B=90°，所以∠EDF=90°，因此OD=EF，得到EF=OC+OD，因此当C、O、D三点在同一直线上，且CD⊥AB时，OC+OD最短，由OE=OF，OC=OD，∠C=90°得到四边形CEDF为矩形，于是过点C作CH⊥AB，此时点D与H重合，EF=OC+OD=CD=CH最短，由∠AFD=∠BED=90°，可知∠A=∠B=45°，从而CH为AB=，故EF的最小值为

取EF得中点O，连接DE、DE、DC，

∵∠C=90°，

∴OC=EF,∠A+∠B=90°，

∵AF=DF，BE=DE，

∴∠A=∠ADF，∠B=∠BDE，

∴∠ADF+∠BDE=∠A+∠B=90°，

∴∠EDF=90°，

∴OD=EF，

∴EF=OC+OD，

当C. O、D三点在同一直线上，且CD⊥AB时，OC+OD最短，

∵OE=OF，OC=OD，

∴四边形CEDF为平行四边形，

∵∠C=90°，

∴四边形CEDF为矩形，

于是过点C作CH⊥AB，此时点D与H重合，EF=OC+OD=CD=CH最短，

∴∠AFD=∠BED=90°，

∴∠A=∠B=45°，

CH=AB=，

∴EF的最小值为.