Question

【题目】如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．

（1）求证：BE＝CF；

（2）当四边形ABDF为菱形时，求CD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）CD＝2﹣2．

【解析】

（1）根据旋转的性质得到AE＝AF＝AB＝AC＝2，∠EAF＝∠BAC＝45°，然后根据“边角边”证明△ABE≌△ACF，之后根据全等三角形性质得出结论即可。

（2）根据菱形的性质得出DF＝AF＝2，DF∥AB，再根据平行线 性质证明∠1＝∠BAC＝45°，此时则可判定断△ACF为等腰直角三角形，之后进一步求解即可。

（1）证明：如图

，

∵△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，

∴AE＝AF＝AB＝AC＝2，∠EAF＝∠BAC＝45°，

∴∠BAC+∠3＝∠EAF+∠3，

即∠BAE＝∠CAF，在△ABE和△ACF中：

∵AB=AC，∠BAE=∠CAF，AE=AF，

∴△ABE≌△ACF（SAS），

∴BE＝CF；

（2）解：如图

，

∵四边形ABDF为菱形，

∴DF＝AF＝2，DF∥AB，

∴∠1＝∠BAC＝45°，

∴△ACF为等腰直角三角形，

∴CF＝AF＝2，

∴CD＝CF﹣DF＝2﹣2．