Question

【题目】如图，平面直角坐标系中，函数y=的图像与x、y轴分别交于点A、B.以AB为直径作M.

（1）求AB的长；

（2）点D是M上任意一点，且点D在直线AB上方，过点D作DH⊥AB，垂足为H，连接BD.

①当△BDH中有一个角等于BAO两倍时，求点D的坐标；

②当DBH=45°时，求点D的坐标.

Answer 1

【答案】（1）AB=4；（2）①（，3）；D(-2)；②D（）.

【解析】

（1）根据一次函数的解析式求出A,B两点的坐标，再利用勾股定理即可求出AB的长；（2）①连接OM，由OM为Rt△AOB斜边AB上中线，证得△OBM为等边三角形，则∠OBM=60°,得到∠BAO=30°，再分∠DBH=2∠BAO=60°时与∠BDH=2∠BAO=60°时两种情况分别讨论求解；②当∠DBH=45°时，易得∠DAB=45°，则AH=DH=BH,所以M、H重合，作DC⊥y轴于C，DE⊥x轴于E，易证△DCB≌△DEA,得CB=AE，设CB=AE=a，则DC=OE=2，因为BD=,由勾股定理得，DC2+CB2=DB2,所以，求出a的值，再根据题意舍去一个，即可求解.

解：（1）对于y=，

当x=0时，y=2；当y=0时，x=-2.

所以点A(-2，B（0,2），

所以OB=2,OA=2.根据勾股定理得，AB==4.

（2）①连接OM.

因为OM为Rt△AOB斜边AB上中线，

所以OM=AM=BM=AB=2=OB,

所以△OBM为等边三角形，则∠OBM=60°,

故∠BAO=30°.

1）如图，当∠DBH=2∠BAO=60°时，

连接DM，并延长交AO于点N.

∵∠DBH=60°，DM=BM,

∴△BDM为等边三角形，

∴∠DMB =60°，

故∠AMN=∠DMB =60°，

所以∠MNA=180-30°-60°=90°，

所以MN⊥AO,即DN⊥AO，

∴ON=AO=

DN=DM+MN=BM+AM=AB+AB=3，

所以D（，3）；

2）如图，

当∠BDH=2∠BAO=60°时，

∵DM=BM=AM=OM，

∴四边形BDAO为矩形，

可得，DA=BO=2,BD=OA=2.

所以D(-2).

②如图，

当∠DBH=45°时，

∵AH=BH,DM⊥AB，∴△ABD为等腰直角三角形，

∴∠DAB=45°，

则AH=DH=BH,所以M、H重合.

作DC⊥y轴于C，DE⊥x轴于E，

∵DE⊥AO,DC⊥CO，

∴∠ADE+∠EDB=90°，又∠EDB+∠BDC=90°，

∴∠ADE=∠BDC

又AD=BD,

∴△DCB≌△DEA（AAS）,得CB=AE，

设CB=AE=a，则DC=OE=2，

因为BD=,

由勾股定理得，DC2+CB2=DB2,

所以，

解得a=，

当a=时，OC=DE=3+>4，不符合题意.

当a=时，OC=OE=,所以D（）