Question

10．如图，边长为6的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是AB上一点．点F关于直线DE的对称点G恰好在BC延长线上，FG交DE于点H．点M为AD的中点，若MH=$\sqrt{17}$，则EG=5．

Answer 1

分析 连接DF，DG，过H作HP⊥AB于P，HQ⊥AD于Q，由点F，点G关于直线DE的对称，得到DF=DG，根据正方形的性质得到AD=CD，∠ADC=∠A=∠BCD=90°，推出Rt△AFD≌Rt△CDG，证得△FDG是等腰直角三角形，推出四边形APHQ是矩形，证得△HPF≌△DHQ，根据全等三角形的性质得到HP=HQ，证得APHQ为正方形，利用正方形性质联系题中所给数据计算出正方形边长，然后再利用△FPH∽△EHG求得EG长．

解答 解：连接DF，DG，过H作HP⊥AB于P，HQ⊥AD于Q，
∵点F，点G关于直线DE的对称，
∴DF=DG，
正方形ABCD中，∵AD=CD，∠ADC=∠A=∠BCD=90°，
∴∠GCD=90°，又在Rt△AFD与Rt△CDG中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{DF=DG}\end{array}\right.$，
∴Rt△AFD≌Rt△CDG，
∴∠ADF=∠CDG，
∴∠FDG=∠ADC=90°，
∴△FDG是等腰直角三角形，
∵DH⊥CF，
∴DH=FH=$\frac{1}{2}$FG，
∵HP⊥AB，HQ⊥AD，∠A=90°，
∴四边形APHQ是矩形，
∴∠PHQ=90°，
∵∠DHF=90°，
∴∠PHF=∠DHQ，又在△PFF与△DQH中有$\left\{\begin{array}{l}{∠HPF=∠HQD=90°}\\{∠PHF=∠DHQ}\\{HF=HD}\end{array}\right.$，
∴△HPF≌△DHQ，
∴HP=HQ，所以矩形APHQ是正方形；
设正方形APHQ边长为a，则在Rt△MQH中，有（a-3）²+a²=17，解得a=4；
∴FP=QD=AD-AQ=6-4=2，
又易证△FPH∽△EHG，则有$\frac{EG}{FH}=\frac{GH}{PH}$，即EG=$\frac{F{H}^{2}}{PH}$，
又FH²=2²+4²=20，PH=4，
∴EG=5
故答案为：5．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．