Question

2．我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形”．
已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3．
（1）如图1，四边形CDEF是△ABC的内接正方形，则正方形CDEF的边长a₁是2；
（2）如图2，四边形DGHI是（1）中△EDA的内接正方形，则第2个正方形DGHI的边长a₂=$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质可以得出△BFE∽△BCA，再根据相似三角形的性质就可以把正方形CDEF的边长表示出来，从而得出结论；
（2）由正方形的性质可以得出△EIH∽△EDA，再根据相似三角形的性质就可以把正方形IDGF的边长表示出来，从而得出结论．

解答 解：（1）∵四边形CDEF是正方形，
∴EF=FC，EF∥FC，
∴△BFE∽△BCA，
∴$\frac{BF}{BC}$=$\frac{EF}{AC}$，
设EF=FC=a，
∴$\frac{3-a}{3}$=$\frac{a}{6}$，
∴a=2，
故答案是：2；
（2）∵四边形DGHI是正方形，
∴IH=ID，IH∥AD，
∴△EIH∽△EDA，
∴$\frac{IE}{DE}$=$\frac{IH}{AD}$，
设IH=ID=b，AD=4，DE=2，
∴$\frac{2-b}{2}$=$\frac{b}{4}$，
∴b=$\frac{4}{3}$．
故答案是：$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握相似三角形的性质是解决问题的关键．