Question

19．已知：关于的方程x²-（k+1）x+$\frac{1}{4}$k²+1=0的两根是一个矩形两邻边的长．
（1）求k实数的取值范围；
（2）当矩形的对角线长为$\sqrt{5}$时，求实数k的值．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程根的判别式，方程有两个实数根，则判别式△≥0，得出关于k的不等式，求出k的取值范围．
（2）根据勾股定理和根与系数的关系得出关于k的方程，求出k的值并检验．

解答 解：（1）设方程的两根为x₁，x₂
则△=[-（k+1）]²-4（$\frac{1}{4}$k²+1）=2k-3，
∵方程有两个实数根，∴△≥0，
即2k-3≥0，
∴k≥$\frac{3}{2}$．

（2）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=k+1}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{1}{4}{k}^{2}+1}\end{array}\right.$，
又∵x₁²+x₂²=5，即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=5，
（k+1）²-2（$\frac{1}{4}$k²+1）=5，
整理得k²+4k-12=0，
解得k=2或k=-6（舍去），
∴k的值为2．

点评 此题考查一元二次方程的实际运用，解决本题的关键是利用一元二次方程根与系数的关系和勾股定理，把问题转化为解方程求得k的值．