【题目】如图所示,在矩形ABCD中,点E在AD上,EC平分∠BED.
(1)试判断△BEC是否为等腰三角形,并说明理由.
(2)若AB=1,∠ABE=45°,求BC的长.
(3)在原图中画△FCE,使它与△BEC关于CE的中点O成中心对称,此时四边形BCFE是什么特殊平行四边形?请说明理由.
【答案】(1)是等腰三角形,理由见详解;(2);(3)菱形,理由见详解.
【解析】
(1)易证∠BEC=∠BCE,从而判定△BCE是等腰三角形.
(2)由(1)知BC=BE,而BC是等腰直角△ABE的斜边,AB=BE,运用勾股定理可求.
(3)根据中心对称的性质,可知四边形BCFE是平行四边形,又BC=BE,得出BCFE是菱形.
解:(1)∵AD∥BC,
∴∠DEC=∠BCE,
∵∠DEC=∠BEC,
∴∠BEC=∠BCE,
∴△BCE是等腰三角形.
(2)∵在Rt△ABE中,∠ABE=45°,
∴∠AEB=∠ABE=45°,
∴AB=AE=1.
∴BE=,
∴BC=.
(3)如图,∵△FCE与△BEC关于CE的中点O成中心对称,
∴OB=OF,OE=OC,
∴四边形BCFE是平行四边形,
又∵BC=BE,
∴四边形BCFE是菱形.
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【题目】如图1,抛物线y=mx2﹣4mx+3m(m>0)与x轴交于A,B两点(点B在点A右侧).与y轴交点C,与直线l:y=x+1交于D、E两点,
(1)当m=1时,连接BC,求∠OBC的度数;
(2)在(1)的条件下,连接DB、EB,是否存在抛物线在第四象限上一点P,使得S△DBE=S△DPE?若存在,求出此时P点坐标及PB的长度;若不存在,请说明理由;
(3)若以DE为直径的圆恰好与x轴相切,求此时m的值.
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【题目】在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用32m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),设AB=xm.
(1)若花园的面积为252m2,求x的值;
(2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是17m和6m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),求花园面积S的最大值.
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【题目】如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AB是⊙O的直径,⊙O交BC于点D,DE⊥AC于点E,BE交⊙O于点F,连接AF,AF的延长线交DE于点P.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)求tan∠ABE的值;
(3)若OA=2,求线段AP的长.
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【题目】在△ABC中,AD是高,矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上,QM在边BC上,若BC=8cm,AD=6cm,且PN=2PQ,则矩形PQMN的周长为( )
A. 14.4cmB. 7.2cmC. 11.52cmD. 12.4cm
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【题目】如图,平行四边形ABCD中,过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F.过点E作EG∥BC,交AB于G,则图中相似三角形有( )
A. 4对B. 5对C. 6对D. 7对
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦BC=6cm,AC=8cm.若动点P以2cm/s的速度从B点出发沿着B→A的方向运动,点Q以1cm/s的速度从A点出发沿着A→C的方向运动,当点P到达点A时,点Q也随之停止运动.设运动时间为t(s),当△APQ是直角三角形时,t的值为___________.
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【题目】如图,已知:⊙O的直径AB与弦AC的夹角∠A=30°,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P.
(1)求证:AC=CP;
(2)若PC=6,求图中阴影部分的面积(结果精确到0.1).(参考数据:,π=3.14)
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