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【题目】如图,点E为△ABC的外接圆⊙O上一点,OEBC于点D,连接AE并延长至点F,使∠FBC=∠BAC

1)求证:直线BF是⊙O的切线;

2)若点DOE中点,过点BBGAF于点G,连接DG,⊙O的半径为,AC=5.

①求∠BAC的度数;

②求线段DG的长.

【答案】1)详见解析;(2)①60°;②1.

【解析】

1)连接OBOC,由垂径定理、圆周角定理得∠BOD=BAC=FBC,根据∠BOD+OBD=90,得到∠FBC+OBD=90,即可证得直线BF是⊙O的切线;

2)①由点DOE中点,得到,利用cosBOD=,即可求出∠BOD=60,得到∠BAC=60

②延长ACBG交于点M,证明△ABM是等边三角形,由点DBC的中点,GBM的中点,得到DG是△BCM的中位线,过点MMPAB,过点OONAM,连接OA,利用勾股定理求出ON的长,再利用勾股定理求出MN的长,即可求出MC的长度得到DG的长.

1)连接OBOC

OE⊥BC

∴∠BOD=BOC,ODB=90

∵∠BAC=BOC,

∴∠BOD=BAC,

∠FBC∠BAC,BOD+OBD=90

∴∠FBC+OBD=90

即∠OBF=90

OBBF,

∴直线BF⊙O的切线;

2)①∵点DOE中点,

,

cosBOD=

∴∠BOD=60

∴∠BAC=60

②延长ACBG交于点M

OE⊥BC

,BD=CD,

BGAF

∴∠AGB=90

∴∠ABG=60,

∴△ABM是等边三角形,BG=AG,

DG是△BCM的中位线,

DG=CM,

过点MMPAB

∴点PAB的中点,∠AMP=30

MP过点O,

过点OONAM,连接OA

AN=NC=AC=,

AO=,

,

MC=MN-NC=2

DG=MC=1.

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(2) 扇形统计图中表示“最想去的景点D”的扇形圆心角为___________度

(3) 如果ABCD四个景点提供给学生优惠门票价格分别为20元、30元、40元、60元,根据以上的统计估计全校学生到对应的景点所需要门票总价格是多少元?

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