【题目】如图,点E为△ABC的外接圆⊙O上一点,OE⊥BC于点D,连接AE并延长至点F,使∠FBC=∠BAC,
(1)求证:直线BF是⊙O的切线;
(2)若点D为OE中点,过点B作BG⊥AF于点G,连接DG,⊙O的半径为,AC=5.
①求∠BAC的度数;
②求线段DG的长.
【答案】(1)详见解析;(2)①60°;②1.
【解析】
(1)连接OB、OC,由垂径定理、圆周角定理得∠BOD=∠BAC=∠FBC,根据∠BOD+∠OBD=90,得到∠FBC+∠OBD=90,即可证得直线BF是⊙O的切线;
(2)①由点D为OE中点,得到,利用cos∠BOD=,即可求出∠BOD=60,得到∠BAC=60;
②延长AC、BG交于点M,证明△ABM是等边三角形,由点D是BC的中点,G是BM的中点,得到DG是△BCM的中位线,过点M作MP⊥AB,过点O作ON⊥AM,连接OA,利用勾股定理求出ON的长,再利用勾股定理求出MN的长,即可求出MC的长度得到DG的长.
(1)连接OB、OC,
∵OE⊥BC,
∴∠BOD=∠BOC,∠ODB=90,
∵∠BAC=∠BOC,
∴∠BOD=∠BAC,
∵∠FBC=∠BAC,∠BOD+∠OBD=90,
∴∠FBC+∠OBD=90,
即∠OBF=90,
∴OB⊥BF,
∴直线BF是⊙O的切线;
(2)①∵点D为OE中点,
∴,
∴cos∠BOD=,
∴∠BOD=60,
∴∠BAC=60;
②延长AC、BG交于点M,
∵OE⊥BC,
∴,BD=CD,
∵BG⊥AF,
∴∠AGB=90,
∴∠ABG=60,
∴△ABM是等边三角形,BG=AG,
∴DG是△BCM的中位线,
∴DG=CM,
过点M作MP⊥AB,
∴点P为AB的中点,∠AMP=30,
∴MP过点O,
过点O作ON⊥AM,连接OA,
∴AN=NC=AC=,
∵AO=,
∴,
∴,
∴MC=MN-NC=2,
∴DG=MC=1.
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【题目】如图,O是矩形ABCD的对角线的交点,E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD上的点,且AE=BF=CG=DH.
(1)求证:四边形EFGH是矩形;
(2)若E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,且DG⊥AC,OF=2cm,求矩形ABCD的面积.
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【题目】如图,矩形ABCD中,P是边AD上的一动点,连接BP、CP,过点B作射线交线段CP的延长线于点E,交AD边于点M,且使得∠ABE=∠CBP,如果AB=2,BC=5,AP=x,PM=y.
(1)说明△ABM∽△APB;并求出y关于x的函数关系式,写出自变量x的取值范围;
(2)当AP=4时,求sin∠EBP的值;
(3)如果△EBC是以∠EBC为底角的等腰三角形,求AP的长.
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【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c开口向上,与x轴交于点A、B,与y轴交于点C
(1) 如图1,若A (1,0)、C (0,3)且对称轴为直线x=2,求抛物线的解析式
(2) 在(1)的条件下,如图2,作点C关于抛物线对称轴的对称点D,连接AD、BD,在抛物线上是否存在点P,使∠PAD=∠ADB,若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由
(3) 若直线l:y=mx+n与抛物线有两个交点M、N(M在N的左边),Q为抛物线上一点(不与M、N重合),过点Q作QH平行于y轴交直线l于点H,求的值
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,有任意三角形,当这个三角形的一条边上的中线等于这条边的一半时,称这个三角形叫“和谐三角形”,这条边叫“和谐边”,这条中线的长度叫“和谐距离”.
(1)已知A(2,0),B(0,4),C(1,2),D(4,1),这个点中,能与点O组成“和谐三角形”的点是 ,“和谐距离”是 ;
(2)连接BD,点M,N是BD上任意两个动点(点M,N不重合),点E是平面内任意一点,△EMN是以MN为“和谐边”的“和谐三角形”,求点E的横坐标t的取值范围;
(3)已知⊙O的半径为2,点P是⊙O上的一动点,点Q是平面内任意一点,△OPQ是“和谐三角形”,且“和谐距离”是2,请描述出点Q所在位置.
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【题目】“大美武汉·诗意江城”,某校数学兴趣小组就“最想去的武汉市旅游景点”随机调查了本校3000名学生中的部分学生,提供四个景点选择:A、黄鹤楼;B、东湖海洋世界;C、极地海洋世界;D、欢乐谷.要求每位同学选择且只能选择一个最想去的景点,下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图:
请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1) 一共调查了学生___________人
(2) 扇形统计图中表示“最想去的景点D”的扇形圆心角为___________度
(3) 如果A、B、C、D四个景点提供给学生优惠门票价格分别为20元、30元、40元、60元,根据以上的统计估计全校学生到对应的景点所需要门票总价格是多少元?
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【题目】如图,有一张矩形纸片,长10cm,宽6cm,在它的四角各剪去一个同样的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体纸盒,若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是32cm2,求剪去的小正方形的边长,设剪去的小正方形边长是xcm,根据题意可列方程,化为一般式为_____.
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【题目】如图,BD是菱形ABCD的对角线,∠CBD=75°.
(1)求∠A的度数;
(2)请用尺规作图,在AD边上找到一点F,使得∠DBF=45°(不要求写作法,保留作图痕迹)
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【题目】如图,四边形是矩形,四边形是正方形,点在轴的正半轴上,点在轴的正半轴上,点在上,点在反比例函数的图象上,,则正方形的面积为( )
A.B.C.D.
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