Question

16．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DC=BD；
（2）求证：DE为⊙O的切线；
（3）若DE的长为$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，∠BAC=60°，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OD、AD，如图，根据圆周角定理由AB为⊙O的直径得∠ADB=90°，再根据等腰三角形的性质得DB=DC；
（2）根据中位线的性质，证得OD∥AC，而DE⊥AC，根据平行线的性质得DE⊥OD，则可根据切线的判定定理得到DE为⊙O的切线；
（3）由∠BAC=60°可判断△ABC为等边三角形，根据等边三角形的性质得∠B=∠C=60°，∠DAC=30°，在RT△AED中，根据正弦函数求得AD，进而在RT△ACD中，根据正弦函数求得AC，即可求得AB，求得半径．

解答 （1）证明：连接OD、AD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵△ABC为等腰三角形，
∴DB=DC；

（2）证明：∵OA=OB，DB=DC，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE为⊙O的切线；

（3）解：∵在等腰△ABC中，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形．
∴∠DAC=30°，
∵DE=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴AD=2DE=5$\sqrt{3}$，
∵∠C=60°，
∴sinC=$\frac{AD}{AC}$，
∴AC=$\frac{AD}{sin60°}$=$\frac{5\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=10，
∴AB=AC=10，
∴⊙O的半径为5．

点评 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了解直角三角形和等腰三角形的性质．