Question

11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D点，∠ABC的平分线分别交AD、AC于E、F两点，连结DF，下列结论：①△AEF为等腰三角形；②△FAD为等腰三角形；③△BDE∽△BAF；④△ABE∽△CBF，其中正确的有（　　）

• A． ①②④
• B． ①③④
• C． ②④
• D． ①③

Answer 1

分析 利用等角的余角相等得∠BAD=∠C，再根据三角形外角性质得∠AEF=∠ABE+∠BAE，∠AFE=∠FBC+∠C，则得到∠AEF=∠AFE，可判断△AEF为等腰三角形，于是可对①进行判断；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半对②进行判断；根据有两组角对应相等的两个三角形相似对③④进行判断．

解答 解：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠C，
∵∠AEF=∠ABE+∠BAE，∠AFE=∠FBC+∠C，
∵BF平分∠ABC，
∴∠AEF=∠AFE，
∴△AEF为等腰三角形，所以①正确；
∵BF为角平分线，F点不能确定为AC的中点，
∴FA和FD不能确定相等，所以②错误；
∵∠ABF=∠DBE，∠BAF=∠BDE，
∴△BDE∽△BAF，所以③正确；
∵∠AEF=∠AFE，
∴∠AEB=∠BFC，
∵∠ABE=∠CBF，
∴△ABE∽△CBF，所以④正确．
故选B．

点评 本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰三角形的判定．