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【题目】在平面直角坐标系中,一次函数的图象与轴负半轴交于点,与轴正半轴交于点,点为直线上一点,,点轴正半轴上一点,连接的面积为48

(1)如图1,求点的坐标;

(2)如图2,点分别在线段上,连接,点的横坐标为,点的横坐标为,求的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)

(3)(2)的条件下,如图3,连接,点轴正半轴上点右侧一点,点为第一象限内一点,,延长于点,点上一点,直线经过点和点,过点,交直线于点,连接,请你判断四边形的形状,并说明理由.

【答案】1B60);(2d;(3)四边形是矩形,理由见解析

【解析】

1)作DLy轴垂足为L点,DIAB垂足为I,证明△DLC≌△AOC,求得D212),再由SABDABDI48,求得OBABAO826,即可求B坐标;
2)设∠MNB=∠MBNα,作NKx轴垂足为KMQAB垂足为QMPNK,垂足为P;证明四边形MPKQ为矩形,再证明△MNP≌△MQB,求出BD的解析式为y3x18MQd,把yd代入y3x18d3x18,表达出OQ的值,再由OQOKKQtd,可得d
3)作NWAB垂足为W,证明△ANW≌△CAO,根据边的关系求得N42);延长NWY,使NWWY,作NSYF,再证明△FHN≌△FSN,可得SFFH=NY224;设YSaFYFNa,在RtNYSRtFNS中利用勾股定理求得FN;在RtNWF中,利用勾股定理求出WF6,得到F100);设GFy轴于点T,设FN的解析式为ypxqp≠0)把F100N42)代入即可求出直线FN的解析式,联立方程组得到G点坐标;把G点代入得到yx+3,可知R40),证明△GRA≌△EFR,可得四边形AGFE为平行四边形,再由∠AGF180°CGF90°,可证明平行四边形AGFE为矩形.

解:(1)令x0y6,令y0x2
A20),B06),
AO2CO6
DLy轴垂足为L点,DIAB垂足为I
∴∠DLO=∠COA90°,∠DCL=∠ACODCAC
∴△DLC≌△AOCAAS),
DLAO2
D的横坐标为2
x2代入y3x6y12
D212),
DI12
SABDABDI48
AB8
OBABAO826
B60);


2)∵OCOB6
∴∠OCB=∠CBO45°
MNMB
∴设∠MNB=∠MBNα
NKx轴垂足为KMQAB垂足为QMPNK,垂足为P
∴∠NKB=∠MQK=∠MPK90°
∴四边形MPKQ为矩形,
NKCOMQPK
∵∠KNB90°45°45°
∴∠MNK45°α,∠MBQ45°α
∴∠MNK=∠MBQ
MNMB,∠NPM=∠MQB90°
∴△MNP≌△MQBAAS),
MPMQ
B60),D212),
∴设BD的解析式为ykxbk≠0),
,解得:k=-3b=18
BD的解析式为y3x18
∵点M的纵坐标为d
MQ=MPd,把yd代入y3x18d3x18
解得x
OQ
N的横坐标为t
OKt
OQOKKQtd
td
d


3)作NWAB垂足为W
∴∠NWO90°
∵∠ACN45°+∠ACO,∠ANC45°+∠NAO
∵∠ACO=∠NAO
∴∠ACN=∠ANC
ACAN
又∵∠ACO=∠NAO,∠AOC=∠NOW90°
∴△ANW≌△CAOAAS),
AONW2
WBNW2
OWOBWB624
N42);
延长NWY,使NWWY

∴△NFW≌△YFW(SAS)

NFYF,∠NFW=∠YFW
又∵∠HFN2NFO
∴∠HFN=∠YFN
NSYF
∵∠FHNH
∴∠H=∠NSF90°
FNFN
∴△FHN≌△FSNAAS),
SFFHNY224
YSaFYFNa
RtNYSRtFNS中:NS2NY2YS2NS2FN2FS2NY2YS2FN2FS2
42a2(a)2-()2
解得a
FN
RtNWFWF
FOOWWF4610
F100),
AWAOOW246
AWFW
NWAF
NANF
∴∠NFA=∠NAF
∵∠ACO=∠NAO
∴∠NFA=∠ACO
GFy轴于点T,∠CTF=∠ACO+∠CGF=∠COF+∠GFO
∴∠CGF=∠COF90°
FN的解析式为ypxqp≠0),把F100N42)代入ypxq
,解得

∴联立,解得:


G点代入ymx3,得,得m
yx3
y00x3x4
R40),
ARAOOR246RFOFOR1046
ARRF
FEAC
∴∠FEG=∠AGE,∠GAF=∠EFA
∴△GRA≌△EFRAAS),
EFAG
∴四边形AGFE为平行四边形,
∵∠AGF180°CGF180°90°90°
∴平行四边形AGFE为矩形.

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