【题目】在平面直角坐标系中,一次函数的图象与轴负半轴交于点,与轴正半轴交于点,点为直线上一点,,点为轴正半轴上一点,连接,的面积为48.
(1)如图1,求点的坐标;
(2)如图2,点分别在线段上,连接,点的横坐标为,点的横坐标为,求与的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);
(3)在(2)的条件下,如图3,连接,点为轴正半轴上点右侧一点,点为第一象限内一点,,,延长交于点,点为上一点,直线经过点和点,过点作,交直线于点,连接,请你判断四边形的形状,并说明理由.
【答案】(1)B(6,0);(2)d=;(3)四边形是矩形,理由见解析
【解析】
(1)作DL⊥y轴垂足为L点,DI⊥AB垂足为I,证明△DLC≌△AOC,求得D(2,12),再由S△ABD=ABDI=48,求得OB=ABAO=82=6,即可求B坐标;
(2)设∠MNB=∠MBN=α,作NK⊥x轴垂足为K,MQ⊥AB垂足为Q,MP⊥NK,垂足为P;证明四边形MPKQ为矩形,再证明△MNP≌△MQB,求出BD的解析式为y=3x+18,MQ=d,把y=d代入y=3x+18得d=3x+18,表达出OQ的值,再由OQ=OK+KQ=t+d,可得d=;
(3)作NW⊥AB垂足为W,证明△ANW≌△CAO,根据边的关系求得N(4,2);延长NW到Y,使NW=WY,作NS⊥YF,再证明△FHN≌△FSN,可得SF=FH=,NY=2+2=4;设YS=a,FY=FN=a+,在Rt△NYS和Rt△FNS中利用勾股定理求得FN;在Rt△NWF中,利用勾股定理求出WF=6,得到F(10,0);设GF交y轴于点T,设FN的解析式为y=px+q(p≠0)把F(10,0)N(4,2)代入即可求出直线FN的解析式,联立方程组得到G点坐标;把G点代入得到y=x+3,可知R(4,0),证明△GRA≌△EFR,可得四边形AGFE为平行四边形,再由∠AGF=180°∠CGF=90°,可证明平行四边形AGFE为矩形.
解:(1)令x=0,y=6,令y=0,x=2,
∴A(2,0),B(0,6),
∴AO=2,CO=6,
作DL⊥y轴垂足为L点,DI⊥AB垂足为I,
∴∠DLO=∠COA=90°,∠DCL=∠ACO,DC=AC,
∴△DLC≌△AOC(AAS),
∴DL=AO=2,
∴D的横坐标为2,
把x=2代入y=3x+6得y=12,
∴D(2,12),
∴DI=12,
∵S△ABD=ABDI=48,
∴AB=8;
∵OB=ABAO=82=6,
∴B(6,0);
(2)∵OC=OB=6,
∴∠OCB=∠CBO=45°,
∵MN=MB,
∴设∠MNB=∠MBN=α,
作NK⊥x轴垂足为K,MQ⊥AB垂足为Q,MP⊥NK,垂足为P;
∴∠NKB=∠MQK=∠MPK=90°,
∴四边形MPKQ为矩形,
∴NK∥CO,MQ=PK;
∵∠KNB=90°45°=45°,
∴∠MNK=45°+α,∠MBQ=45°+α,
∴∠MNK=∠MBQ,
∵MN=MB,∠NPM=∠MQB=90°,
∴△MNP≌△MQB(AAS),
∴MP=MQ;
∵B(6,0),D(2,12),
∴设BD的解析式为y=kx+b(k≠0),
∴,解得:k=-3,b=18,
∴BD的解析式为y=3x+18,
∵点M的纵坐标为d,
∴MQ=MP=d,把y=d代入y=3x+18得d=3x+18,
解得x=,
∴OQ=;
∵N的横坐标为t,
∴OK=t,
∴OQ=OK+KQ=t+d,
∴=t+d,
∴d=;
(3)作NW⊥AB垂足为W,
∴∠NWO=90°,
∵∠ACN=45°+∠ACO,∠ANC=45°+∠NAO,
∵∠ACO=∠NAO,
∴∠ACN=∠ANC,
∴AC=AN,
又∵∠ACO=∠NAO,∠AOC=∠NOW=90°,
∴△ANW≌△CAO(AAS),
∴AO=NW=2,
∴WB=NW=2,
∴OW=OBWB=62=4,
∴N(4,2);
延长NW到Y,使NW=WY,
∴△NFW≌△YFW(SAS)
∴NF=YF,∠NFW=∠YFW,
又∵∠HFN=2∠NFO,
∴∠HFN=∠YFN,
作NS⊥YF,
∵∠FH⊥NH,
∴∠H
∵FN=FN,
∴△FHN≌△FSN(AAS),
∴SF=FH=,NY=2+2=4,
设YS=a,FY=FN=a+,
在Rt△NYS和Rt△FNS中:NS2=NY2YS2;NS2=FN2FS2;NY2YS2=FN2FS2,
∴42a2=(a+)2-()2,
解得a=
∴FN=;
在Rt△NWF中WF=,
∴FO=OW+WF=4+6=10,
∴F(10,0),
∴AW=AO+OW=2+4=6,
∴AW=FW,
∵NW⊥AF,
∴NA=NF,
∴∠NFA=∠NAF,
∵∠ACO=∠NAO,
∴∠NFA=∠ACO,
设GF交y轴于点T,∠CTF=∠ACO+∠CGF=∠COF+∠GFO,
∴∠CGF=∠COF=90°,
设FN的解析式为y=px+q(p≠0),把F(10,0)N(4,2)代入y=px+q
得,解得,
∴,
∴联立,解得:,
∴,
把G点代入y=mx+3,得,得m=,
∴y=x+3,
令y=0得0=x+3,x=4,
∴R(4,0),
∴AR=AO+OR=2+4=6,RF=OFOR=104=6,
∴AR=RF,
∵FE∥AC,
∴∠FEG=∠AGE,∠GAF=∠EFA,
∴△GRA≌△EFR(AAS),
∴EF=AG,
∴四边形AGFE为平行四边形,
∵∠AGF=180°∠CGF=180°90°=90°,
∴平行四边形AGFE为矩形.
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【题目】如图平面直角坐标系中,点,在轴上,,点在轴上方,,,线段交轴于点,,连接,平分,过点作交于.
(1)点的坐标为 .
(2)将沿线段向右平移得,当点与重合时停止运动,记与的重叠部分面积为,点为线段上一动点,当时,求的最小值;
(3)当移动到点与重合时,将绕点旋转一周,旋转过程中,直线分别与直线、直线交于点、点,作点关于直线的对称点,连接、、.当为直角三角形时,直接写出线段的长.
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【题目】如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,BC 是直径,AC=2DH,过点 D 作 DH 垂直BC 于点 H,以下结论中:①BH=HD;②∠BAO=∠BOD;③;④连接 AO、BD,若 BC=8,sin∠HDO= ,则四边形 ABDO 的面积为, 其中正确的结论是 ____(请填写序号)
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【题目】已知四边形是菱形,点分别在上,且,点分别在上,与相交于点.
(1)如图1,求证:四边形是菱形;
(2)如图2,连接,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出面积相等的四边形
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【题目】如图,P是正方形ABCD的对角线BD上一点,PE⊥BC于E,PF⊥CD于F,连接EF,给出下列三个结论:①AP=EF;②△APD一定是等腰三角形;③∠PFE=∠BAP.其中正确结论的序号是( )
A.①②B.①③C.②③D.①②③
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【题目】如图,△ABC与△CDE都是等边三角形,点E、F分别在AC、BC上,且EF∥AB.
(1)求证:四边形EFCD是菱形;
(2)设CD=2,求D、F两点间的距离.
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【题目】如图,已知:关于x的二次函数的图象与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,3),抛物线的对称轴与x轴交于点D.
(1)求二次函数的表达式;
(2)在y轴上是否存在一点P,使△PBC为等腰三角形.若存在,请求出点P的坐标;
(3)有一个点M从点A出发,以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动,另一个点N从点D与点M同时出发,以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动,当点M到 达点B时,点M、N同时停止运动,问点M、N运动到何处时,△MNB面积最大,试求出最大面积.
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【题目】如图,一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A,与反比例函数y=(x>0)的图象交于点B(2,n),过点B作BC⊥x轴于点C,点P(3n﹣4,1)是该反比例函数图象上的一点,且∠PBC=∠ABC,求反比例函数和一次函数的表达式.
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