Question

【题目】AB是⊙O的直径，点E是弧BF的中点，连接AF交过E的切线于点D，AB的延长线交该切线于点C，若∠C＝30°，⊙O的半径是2，则图形中阴影部分的面积是_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

连接OE，OF、EF，根据切线的性质和含30°角的直角三角形的性质求得CE的长，再由已知条件求得AE＝CE＝，然后在直角三角形ADE中求得AD和DE，再根据三角形的面积公式和扇形的面积公式求阴影部分的面积即可.

解：连接OE，OF、EF，

∵DE是切线，

∴OE⊥DE，

∵∠C＝30°，OB＝OE＝2，

∴∠EOC＝60°，OC＝2OE＝4，

∴CE＝OC×sin60°＝4×sin60°=，

∵点E是弧BF的中点，

∴∠EAB＝∠DAE＝30°，∠DAO=60°，

∴F，E是半圆弧的三等分点，

∴∠EOF＝∠EOB＝∠AOF＝60°，

∴OE∥AD，

∴∠ADC＝90°，

∵∠EAB＝∠C＝30°

∴AE＝CE＝ ，

∵∠EAD＝30°，∠ADC＝90°，

∴DE＝，

∴AD＝DE×tan60°＝，

∴S△ADE＝

∵△FOE和△AEF同底等高，

∴△FOE和△AEF面积相等，

∴图中阴影部分的面积为：S△ADE﹣S扇形FOE＝ ．

故答案为：．