【题目】如图,在矩形ABCD中,E是AD边的中点,BE⊥AC,垂足为点F,分析下列四个结论:①△AEF∽△CAB;②CF=2AF;③S△AEF:S△CAB=1:4;④AF2=2EF2.其中正确的结论有( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】B
【解析】
①根据四边形ABCD是矩形,BE⊥AC,可得∠ABC=∠AFB=90°,又∠BAF=∠CAB,于是△AEF∽△CAB,故①正确;
②根据点E是AD边的中点,以及AD∥BC,得出△AEF∽△CBF,根据相似三角形对应边成比例,可得CF=2AF,故②正确;
③根据△AEF∽△CBF得到EF与BF的比值,据此求出S△AEF=S△ABF,S△AEF=S△BCF,可得S△AEF:S△CAB=1:6,故③错误;
④根据AA可得△AEF∽△BAF,根据相似三角形的性质可得AF2=2EF2,故④正确.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠ABC=90°,
∴∠EAC=∠ACB,
∵BE⊥AC,
∴∠ABC=∠AFE=90°,
∴△AEF∽△CAB,故①正确;
∵AD∥BC,
∴△AEF∽△CBF,
∴=,
∵AE=AD=BC,
∴=,
∴CF=2AF,故②正确;
∵△AEF∽△CBF,
∴EF:BF=1:2,
∴S△AEF=S△ABF,S△AEF=S△BCF,
∴S△AEF:S△CAB=1:6,故③错误;
∵△AEF∽△CAB,
∴∠AEF=∠BAF,
∵∠AFE=∠BFA=90°,
∴△AEF∽△BAF,
∴,
AF2=EFBF=2EF2,故④正确.
故选:B.
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【题目】请从以下两个小题中任选一个作答,若多选,则按所选的第一题计分.
A.如图,在平面直角坐标系中,点的坐标为,沿轴向右平移后得到,点的对应点是直线上一点,则点与其对应点间的距离为__________.
B.比较__________的大小.
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【题目】为落实党中央“长江大保护”新发展理念,我市持续推进长江岸线保护,还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌.某工程队负责对一面积为33000平方米的非法砂石码头进行拆除,回填土方和复绿施工,为了缩短工期,该工程队增加了人力和设备,实际工作效率比原计划每天提高了20%,结果提前11天完成任务,求实际平均每天施工多少平方米?
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【题目】如图,菱形ABCD的边长为20cm,∠ABC=120°,对角线AC,BD相交于点O,动点P从点A出发,以4cm/s的速度,沿A→B的路线向点B运动;过点P作PQ∥BD,与AC相交于点Q,设运动时间为t秒,0<t<5.
(1)设四边形PQCB的面积为S,求S与t的关系式;
(2)若点Q关于O的对称点为M,过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD(或CD)于点N,当t为何值时,点P、M、N在一直线上?
(3)直线PN与AC相交于H点,连接PM,NM,是否存在某一时刻t,使得直线PN平分四边形APMN的面积?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】为了发展乡村旅游,某村准备在河道上修一座与河道垂直的桥,如图(1)所示,直线l,m代表河流的两岸河道,且l∥m,点A是某村自助农场的所在地,点B是某村游乐场所在地.
问题1:造桥选址桥准备选在到A,B两地的距离之和刚好为最小的点C处,即在直线l上找一点C,使AC+BC的值为最小.请利用你所学的知识在图(1)中作出点C的位置,并简单说明你所设计方案的原理;
问题2:测量河宽:在测量河道的宽度时施工队在河道南侧的开阔地用以下方法(如图2所示):①作CD⊥l,与河对岸的直线m相交于D;②在直线m上取E,F两点,使得DE=EF=10米;③过点F作m的垂线FG,使得点G与C,E两点在同一直线上;④测量FG的长度为20米.请你确定河道的宽度,并说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,点A(0,5),B(12,0),在y轴负半轴上取点E,使OA=EO,作∠CEF=∠AEB,直线CO交BA的延长线于点D.
(1)根据题意,可求得OE= ;
(2)求证:△ADO≌△ECO;
(3)动点P从E出发沿E﹣O﹣B路线运动速度为每秒1个单位,到B点处停止运动;动点Q从B出发沿B﹣O﹣E运动速度为每秒3个单位,到E点处停止运动.二者同时开始运动,都要到达相应的终点才能停止.在某时刻,作PM⊥CD于点M,QN⊥CD于点N.问两动点运动多长时间△OPM与△OQN全等?
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【题目】如图,某校数学兴趣小组在楼的顶部处测得该楼正前方旗杆的顶端的俯角为,在楼的底部处测得旗杆的顶端的仰角为,已知旗杆的高度为,根据测得的数据,计算楼的高度(结果保留整数).
参考数据:,,.
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【题目】如图,中,,,,对角线,相交于点,将直线绕点顺时针旋转,分别交,于点,,下列说法不正确的是( )
A. 当旋转角为时,四边形一定为平行四边形
B. 在旋转的过程中,线段与总相等
C. 当旋转角为时,四边形一定为菱形
D. 当旋转角为时,四边形一定为等腰梯形
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