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【题目】如图,在矩形ABCD中,EAD边的中点,BEAC,垂足为点F,分析下列四个结论:①△AEF∽△CAB;CF=2AF;SAEF:SCAB=1:4;AF2=2EF2.其中正确的结论有(  )

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

【答案】B

【解析】

①根据四边形ABCD是矩形,BE⊥AC,可得∠ABC=∠AFB=90°,又∠BAF=∠CAB,于是△AEF∽△CAB,故①正确;
②根据点E是AD边的中点,以及AD∥BC,得出△AEF∽△CBF,根据相似三角形对应边成比例,可得CF=2AF,故②正确;
③根据△AEF∽△CBF得到EF与BF的比值,据此求出S△AEF=S△ABF,S△AEF=S△BCF,可得S△AEF:S△CAB=1:6,故③错误;
④根据AA可得△AEF∽△BAF,根据相似三角形的性质可得AF2=2EF2,故④正确.

∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠ABC=90°,
∴∠EAC=∠ACB,
∵BE⊥AC,
∴∠ABC=∠AFE=90°,
∴△AEF∽△CAB,故①正确;
∵AD∥BC,
∴△AEF∽△CBF,
=
∵AE=AD=BC,
=
∴CF=2AF,故②正确;
∵△AEF∽△CBF,
∴EF:BF=1:2,
∴S△AEF=S△ABF,S△AEF=S△BCF
∴S△AEF:S△CAB=1:6,故③错误;
∵△AEF∽△CAB,
∴∠AEF=∠BAF,
∵∠AFE=∠BFA=90°,
∴△AEF∽△BAF,

AF2=EFBF=2EF2,故④正确.
故选:B.

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