Question

【题目】如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC=120°，对角线AC，BD相交于点O，动点P从点A出发，以4cm/s的速度，沿A→B的路线向点B运动；过点P作PQ∥BD，与AC相交于点Q，设运动时间为t秒，0＜t＜5．

（1）设四边形PQCB的面积为S，求S与t的关系式；

（2）若点Q关于O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N，当t为何值时，点P、M、N在一直线上？

（3）直线PN与AC相交于H点，连接PM，NM，是否存在某一时刻t，使得直线PN平分四边形APMN的面积？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) S=﹣2（0＜t＜5）； (2) ;(3)见解析.

【解析】

（1）如图1，根据S=S△ABC-S△APQ，代入可得S与t的关系式；
（2）设PM=x，则AM=2x，可得AP=x=4t，计算x的值，根据直角三角形30度角的性质可得AM=2PM=，根据AM=AO+OM，列方程可得t的值；
（3）存在，通过画图可知：N在CD上时，直线PN平分四边形APMN的面积，根据面积相等可得MG=AP，由AM=AO+OM，列式可得t的值．

解：（1）如图1，∵四边形ABCD是菱形，

∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=60°，AC⊥BD，

∴∠OAB=30°，

∵AB=20，

∴OB=10，AO=10，

由题意得：AP=4t，

∴PQ=2t，AQ=2t，

∴S=S△ABC﹣S△APQ，

=，

= ，

=﹣2t2+100（0＜t＜5）；

（2）如图2，在Rt△APM中，AP=4t，

∵点Q关于O的对称点为M，

∴OM=OQ，

设PM=x，则AM=2x，

∴AP=x=4t，

∴x=，

∴AM=2PM=，

∵AM=AO+OM，

∴=10+10﹣2t，

t=；

答：当t为秒时，点P、M、N在一直线上；

（3）存在，

如图3，∵直线PN平分四边形APMN的面积，

∴S△APN=S△PMN，

过M作MG⊥PN于G，

∴ ，

∴MG=AP，

易得△APH≌△MGH，

∴AH=HM=t，

∵AM=AO+OM，

同理可知：OM=OQ=10﹣2t，

t=10=10﹣2t，

t=．

答：当t为秒时，使得直线PN平分四边形APMN的面积．