Question

如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAB=30°，DE⊥AC于E，且AE=CE，若DE=5，EB=12．求四边形ABCD的面积和∠DAC的正弦值．

Answer 1

考点：面积及等积变换

专题：

分析：由∠ABC=90°，AE=CE，EB=12，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求得AC的长，又由∠CAB=30°，利用三角函数的知识即可求得BC与AB的长，然后由S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD，求得四边形ABCD的面积；利用勾股定理即可求得AD的长，继而求得∠DAC的正弦值．

解答：解：∵∠ABC=90°，AE=CE，EB=12，
∴AC=2BE=24．
∵在Rt△ABC中，∠CAB=30°，
∴BC=

1

2

AC=12，AB=AC•cos30°=12

3

，
∵DE⊥AC，DE=5，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=

1

2

AB•BC+

1

2

AC•DE=72

3

+60，
在Rt△ADE中，AD=

AE2+DE2

=

122+52

=13，
∴sin∠DAC=

DE

AD

=

5

13

．

点评：此题考查了面积与等积变换的知识．注意应用直角三角形的性质、三角函数以及勾股定理．此题难度适中，注意把四边形分成两个三角形求解是解此题的关键．