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【题目】如图,四边形ABCD中,AD平行BC,∠ABC=90°,AD=2,AB=6,以AB为直径的半⊙O 切CD于点E,F为弧BE上一动点,过F点的直线MN为半⊙O的切线,MN交BC于M,交CD于N,则△MCN的周长为(  )

A.9
B.10
C.
D.

【答案】A
【解析】解:作DH⊥BC于H,如图,
∵四边形ABCD中,AD平行BC,∠ABC=90°,
∴AB⊥AD,AB⊥BC,
∵AB为直径,
∴AD和BC为⊙O 切线,
∵CD和MN为⊙O 切线,
∴DE=DA=2,CE=CB,NE=NF,MB=MF,
∵四边形ABHD为矩形,
∴BH=AD=2,DH=AB=6,
设BC=x,则CH=x﹣2,CD=x+2,
在Rt△DCH中,∵CH2+DH2=DC2
∴(x﹣2)2+62=(x+2)2 , 解得x=
∴CB=CE=
∴△MCN的周长=CN+CM+MN
=CN+CM+NF+MF
=CN+CM+NF+MB
=CE+CB
=9.
故选A.

作DH⊥BC于H,如图,利用平行线的性质得AB⊥AD,AB⊥BC,则根据切线的判定得到AD和BC为⊙O切线,根据切线长定理得 DE=DA=2,CE=CB,NE=NF,MB=MF,利用四边形ABHD为矩形得BH=AD=2,DH=AB=6,设BC=x,则 CH=x﹣2,CD=x+2,在Rt△DCH中根据勾股定理得(x﹣2)2+62=(x+2)2 , 解得x= , 即CB=CE= , 然后由等线段代换得到△MCN的周长=CE+CB=9.

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A. ①③④B. ①②③C. ①②④D. ①②③④

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A. 1B. 2C. 3D. 4

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