【题目】如图,四边形在平面直角坐标系的第一象限内,其四个顶点分别在反比例函数与的图象上,对角线于点,轴于点.
(1)若,试求的值;
(2)当,点是线段的中点时,试判断四边形的形状,并说明理由.
(3)直线与轴相交于点.当四边形为正方形时,请求出的长度.
【答案】(1)1;(2)(2)四边形ABCD为菱形,理由见解析;(3)
【解析】
(1)由点N的坐标及CN的长度可得出点C的坐标,再利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点n的值;
(2)利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出点A,C的坐标,结合点P为线段AC的中点可得出点P的坐标,利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出点B,D的坐标,结合点P的坐标可得出BP=DP,利用“对角线互相垂直平分的四边形为菱形”可证出四边形ABCD为菱形;
(3)利用正方形的性质可得出AC=BD且点P为线段AC及BD的中点,利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点A,C,B,D的坐标,结合AC=BD可得出关于n的方程,解之即可得出结论.
(1)∵点N的坐标为(2,0),CN⊥x轴,且,
∴点C的坐标为(2,).
∵点C在反比例函数的图象上,
∴n=2×=1.
(2)四边形ABCD为菱形,理由如下:
当n=2时,.
当x=2时,,
∴点C的坐标为(2,1),点A的坐标为(2,4).
∵点P是线段AC的中点,
∴点P的坐标为(2,).
当y=时,,
解得:,
∴点B的坐标为,点D的坐标为,
∴,
∴BP=DP.
又∵AP=CP,AC⊥BD,
∴四边形ABCD为菱形.
(3)∵四边形ABCD为正方形,
∴AC=BD,且点P为线段AC及BD的中点.
当x=2时,y1=n,y2=2n,
∴点A的坐标为(2,2n),点C的坐标为(2,n),AC=n,
∴点P的坐标为.
同理,点B的坐标为,点D的坐标为,.
∵AC=BD,
∴,
∴,
∴点A的坐标为,点B的坐标为.
设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0),
将A,B代入y=kx+b,得:,
解得:,
∴直线AB的解析式为y=x+.
当x=0时,y=x+,
∴点E的坐标为(0,),
∴当四边形ABCD为正方形时,OE的长度为.
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【题目】 已知,反比例函数y=的图象和一次函数的图象交于A、B两点,点A的横坐标是-1,点B的纵坐标是-1.
(1)求这个一次函数的表达式;
(2)若点P(m,n)在反比例函数图象上,且点P关于x轴对称的点Q恰好落在一次函数的图象上,求m2+n2的值;
(3)若M(x1,y1),N(x2,y2)是反比例函数在第一象限图象上的两点,满足x2-x1=2,y1+y2=3,求△MON的面积.
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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,FO⊥AB,垂足为点O,连接AF并延长交⊙O于点D,连接OD交BC于点E,∠B=30°,FO=2.
(1)求AC的长度;
(2)求图中阴影部分的面积.(计算结果保留根号)
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【题目】某公司计划组织员工外出甲、乙旅行社的服务质量相问,且对外报价都是300元/人,该公司联系时,甲旅行社表示可给每人八折优惠;乙旅行社表示可免去一人的费用,其余人九折优惠.
(1)根据题意,填写下表:
外出人数(人) | 10 | 11 |
甲旅行社收费(元) | ____ | 2640 |
乙旅行社收费(元) | 2430 | ____ |
(2)设该公司此次外出有人,选择甲旅行社的费用为元,选择乙旅行社的费用为元,分别写出,关于的函数关系式
(3)该公司外出人数在什么范围内,选甲旅行社划算?
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【题目】甲班56人,其中身高在160厘米以上的男同学10人,身高在160厘米以上的女同学3人,乙班80人,其中身高在160厘米以上的男同学20人,身高在160厘米以上的女同学8人.如果想在两个班的160厘米以上的女生中抽出一个作为旗手,在哪个班成功的机会大?为什么?
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【题目】点I为△ABC的内心,连AI交△ABC的外接圆于点D,若AI=2CD,点E为弦AC的中点,连接EI,IC,若IC=6,ID=5,则IE的长为_____.
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【题目】已知抛物线 :y=ax2 过点(2,2)
(1)直接写出抛物线的解析式;
(2)如图,△ABC 的三个顶点都在抛物线 上,且边 AC 所在的直线解析式为y=x+b,若 AC 边上的中线 BD 平行于 y 轴,求的值;
(3)如图,点 P 的坐标为(0,2),点 Q 为抛物线上 上一动点,以 PQ 为直径作⊙M,直线 y=t 与⊙M 相交于 H、K 两点是否存在实数 t,使得 HK 的长度为定值?若存在,求出 HK 的长度;若不存在,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,3)、点B(3,0),一次函数y=﹣2x的图象与直线AB交于点P.
(1)求P点的坐标.
(2)若点Q是x轴上一点,且△PQB的面积为6,求点Q的坐标.
(3)若直线y=﹣2x+m与△AOB三条边只有两个公共点,求m的取值范围.
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【题目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,D是边AB上一点,以BD为直径的⊙O经过点E,且交BC于点F.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若BF=6,⊙O的半径为5,求CE的长.
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