【题目】如图,在菱形紙片ABCD中,AB=2.将纸片折叠,使点B落在AD边上的点B′处(不与A,D重合),点C落在C′处,线段B′C′与直线CD交于点G,折痕为EF,则下列说法:①若∠A=90,B′为AD中点时,AE=;②若∠A=60°,B′为AD中点时,点E恰好是AB的中点;③若∠A=60°,C′F⊥CD时,,其中正确的是( )
A.①②B.①③C.②③D.①②③
【答案】D
【解析】
①证出四边形ABCD是正方形,得出AB=AD,设AE=x,则B'E=BE=2x,在Rt△AB'E中,由勾股定理得出方程,解方程即可;
②连接BD、BE',证出△ABD是等边三角形,由等边三角形的性质得出∠AB'B=90°,∠ABB'=30°,证出△AB'E是等边三角形,得出AE=B'E=BE即可;
③设CF=x,由折叠的性质得:C'F=CF=x,∠C'=∠C=∠A=60°,得出∠C'GF=30°,得出C'G=2C'F=2x,GF=C'F=x,则DG=CDGFCF=2xx,证出DB'=DG,作DH⊥B'C'于H,则B'H=GH=12B'G=12(22x)=1x,得出DG=,得出方程=2﹣x﹣x,解得x=4﹣2,得出CF=4﹣2,FD=2﹣(4﹣2)=2﹣2,即可得出结果.
①∵∠A=90°,四边形ABCD是菱形,
∴四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,
∵B′为AD中点时,
∴AB'=1,
设AE=x,则B'E=BE=2﹣x,
在Rt△AB'E中,由勾股定理得:12+x2=(2﹣x)2,
解得:x=,①正确;
②连接BD、BE',如图:
∵∠A=60°,AB=AD,
∴△ABD是等边三角形,
∴∠ABD=60°,
∵B′为AD中点,
∴∠AB'B=90°,∠ABB'=30°∵BE=B'E,
∴∠BB'E=∠ABB'=30°,
∴∠AB'E=60°,
∴△AB'E是等边三角形,
∴AE=B'E=BE,
∴点E是AB的中点,②正确;
③设CF=x,
由折叠的性质得:C'F=CF=x,∠C'=∠C=∠A=60°,
∵C′F⊥CD,
∴∠C'GF=30°,
∴C'G=2C'F=2x,GF=C'F=x,
∴DG=CD﹣GF﹣CF=2﹣x﹣x,
∵∠D=180°﹣∠A=120°,∠DGB'=∠C'GF=30°,
∴∠DB'G=30°,
∴DB'=DG,
设BD交B'C'于H,则B'H=GH=B'G=(2﹣2x)=1﹣x,
∴DG=,∴=2﹣x﹣x,
解得:x=4﹣2,
∴CF=4﹣2,FD=2﹣(4﹣2)=2﹣2,
∴,③正确;
故选:D.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,OD⊥AC于点D,过点A作⊙O的切线AP,AP与OD的延长线交于点P,连接PC、BC.
【1】猜想:线段OD与BC有何数量和位置关系,并证明你的结论.
【2】求证:PC是⊙O的切线
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【题目】黄岩岛自古以来就是中国的领土,如图,为维护海洋利益,三沙市一艘海监船在黄岩岛附近海域巡航,某一时刻海监船在A处测得该岛上某一目标C在它的北偏东45°方向,海监船沿北偏西30°方向航行60海里后到达B处,此时测得该目标C在它的南偏东75方向,求此时该船与目标C之间的距离CB的长度,(结果保留根号)
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【题目】2021年高考方案与高校招生政策都将有重大的变化,我市某部门为了了解政策的宣传情况,对某初级中学学生进行了随机抽样调查,根据学生对政策的了解程度由高到低分为,,,四个等级,并对调查结果分析后绘制了如下两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息完成下列问题:
(1)求被调查学生的人数,并将条形统计图补充完整;
(2)求扇形统计图中的等对应的扇形圆心角的度数;
(3)已知该校有1500名学生,估计该校学生对政策内容了解程度为等的学生有多少人?
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【题目】电器专营店的经营利润受地理位置、顾客消费能力等因素的影响,某品牌电脑专营店设有甲、乙两家分店,均销售A、B、C、D四种款式的电脑,每种款式电脑的利润如表1所示.现从甲、乙两店每月售出的电脑中各随机抽取所记录的50台电脑的款式,统计各种款式电脑的销售数量,如表2所示.
表1:四种款式电脑的利润
电脑款式 | A | B | C | D |
利润(元/台) | 160 | 200 | 240 | 320 |
表2:甲、乙两店电脑销售情况
电脑款式 | A | B | C | D |
甲店销售数量(台) | 20 | 15 | 10 | 5 |
乙店销售数量(台)8 | 8 | 10 | 14 | 18 |
试运用统计与概率知识,解决下列问题:
(1)从甲店每月售出的电脑中随机抽取一台,其利润不少于240元的概率为 ;
(2)经市场调查发现,甲、乙两店每月电脑的总销量相当.现由于资金限制,需对其中一家分店作出暂停营业的决定,若从每台电脑的平均利润的角度考虑,你认为应对哪家分店作出暂停营业的决定?并说明理由.
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【题目】关于二次函数y=mx2+(2m+4)x+8(m为常数,且m≠0),
(1)证明:该函数与x轴一定有交点;
(2)若该函数经过点A(﹣1+,y1)B(﹣1,y2),请比较y1,y2的大小关系,并说明理由.
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【题目】某校九年级教师在某班随机抽查了学生报考志愿的情况,绘制了如下扇形图和统计表,学生统计表绘制好后不小心撕掉了一个角.
报考学校 | 一中 | 二中 | 八中 | 其他 |
报考人数 | 4 | 5 | 6 |
(1)求撕掉角上的数和抽查学生的总数;
(2)老师打算从抽查的学生中随机抽取1个人来谈感想,求抽到报考一中学生的概率;
(3)把抽查学生的人数看做一组数据,抽查学生报考志愿人数的众数是 ,报考志愿的人数中位数是 .
(4)报考一中的人数百分比在扇形统计图中所占圆心角的正切值为 ,报考八中的百分比所占扇形统计图的圆心角的度数是 .(注:tan36°≈0.7265;tan72°≈3.078;)
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为4,点E,F分别在边AB,AD上,且∠ECF=45°,CF的延长线交BA的延长线于点G,CE的延长线交DA的延长线于点H,连接AC,EF.,GH.
(1)填空:∠AHC ∠ACG;(填“>”或“<”或“=”)
(2)线段AC,AG,AH什么关系?请说明理由;
(3)设AE=m,
①△AGH的面积S有变化吗?如果变化.请求出S与m的函数关系式;如果不变化,请求出定值.
②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值.
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【题目】如图,AC是平行四边形ABCD的对角线.
(1)利用尺规作出AC的垂直平分线(要求保留作图痕迹,不写作法);
(2)设AC的垂直平分线分别与AB,AC,CD交于点E,O,F,求证:以A、E、C、F为顶点的四边形为菱形.
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