Question

如图，⊙O的弦AB∥CD，且AB=6，CD=8，AB与CD的距离为7，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理

专题：

分析：过O作OE⊥CD交CD于E点，过O作OF⊥AB交AB于F点，连接OA、OC，由题意可得：AE=EB=3，CE=ED=4，E、F、O在一条直线上，EF为AB、CD之间的距离，再分别解Rt△OEC、Rt△OFA，即可得OE、OF的长，然后分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况得出关于R的方程，求出即可．

解答：解：设⊙O的半径为R，①当AB、CD在圆心两侧时；
过O作OE⊥CD交CD于E点，过O作OF⊥AB交AB于F点，连接OA、OC，如图所示：
∵半径r=5，弦AB∥CD，且AB=6，CD=8，
∴OA=OC=5，CE=DE=4，AF=FB=3，E、F、O在一条直线上，
∴EF为AB、CD之间的距离
在Rt△OEC中，由勾股定理可得：
OE²=OC²-CE²
∴OE=

R2-42

，
在Rt△OFA中，由勾股定理可得：
OF²=OA²-AF²
∴OF=

R2-32

∴EF=OE+OF=7，
∴

R2-32

+

R2-42

=7，
解得：R=5；
②当AB、CD在圆心同侧时；
同①可得：OE=3，OF=4；
则AB与CD的距离为：OF-OE=7，

R2-32

-

R2-42

=7，
即14

R2-16

=-42，
此时方程无解；
所以⊙O的半径为5．

点评：本题考查了垂径定理以及解直角三角形的运用，关键是根据题意画出图形，要注意有两种情况．