Question

20．如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，
（1）请在所给的网格内适当平移线段AB、BC，使平移后的线段与原线段AB、BC组成菱形ABCD，并写出点D的坐标（-2，1）；
（2）菱形ABCD的周长为4$\sqrt{17}$，菱形ABCD的面积等于15．
（3）求sin∠CBA的值．

Answer 1

分析 （1）设D（x，y），再由菱形的对角线互相垂直平分即可得出结论；
（2）先根据勾股定理求出菱形的边长，进而可得出其周长；利用正方形的面积减去四个顶点上三角形的面积即可得出菱形的面积；
（3）过点C作CE⊥AB于点E，先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再根据CE⊥AB求出直线CE的解析式，故可得出E点坐标，利用两点间的距离公式求出CE的长，由锐角三角函数的定义即可得出结论．

解答 解：（1）设D（x，y），
∵A（-1，-3），B（3，-4），C（2，0），
∴$\frac{-1+2}{2}$=$\frac{3+x}{2}$，$\frac{-3}{2}$=$\frac{-4+y}{2}$，
解得x=-2，y=1，
∴点D的坐标（-2，1）．
故答案为：（-2，1）；

（2）∵AB=$\sqrt{{1}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∴菱形ABCD的周长为$4\sqrt{17}$；
菱形ABCD的面积=5×5-4×$\frac{1}{2}$×1×4-2=25-8-2=15．
故答案为：4$\sqrt{17}$，15；

（3）过点C作CE⊥AB于点E，设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（-1，-3），B（3，-4），
∴$\left\{\begin{array}{l}-k+b=-3\\ 3k+b=-4\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}b=-\frac{13}{4}\\ k=-\frac{1}{4}\end{array}\right.$．
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x-$\frac{13}{4}$．
设直线CE的解析式为y=4x+c（a≠0），
∵C（2，0），
∴8+c=0，解得c=-8，
∵设直线CE的解析式为y=4x-8，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{4}x-\frac{13}{4}\\ y=4x-8\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{19}{17}\\ y=-\frac{60}{17}\end{array}\right.$，
∴E（$\frac{19}{17}$，-$\frac{60}{17}$），
∴CE=$\sqrt{（2-\frac{19}{17}）^{2}+（\frac{60}{17}）^{2}}$=$\frac{15\sqrt{17}}{17}$，
∴sin∠CBA=$\frac{CE}{BC}$=$\frac{\frac{15\sqrt{17}}{17}}{\sqrt{17}}$=$\frac{15}{17}$．

点评 本题考查的是作图-平移变换，熟知图形平移不变性的性质及菱形的性质是解答此题的关键．