Question

2．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，交AC于点E，连接AD、
BE交于点M，过点D作DF⊥AC于点F，DH⊥AB于点H交BE于点G，下列结论：①BD=CD，②DF是⊙O的切线，③∠DAC=∠BDH，④DG=$\frac{1}{2}$BM，其中正确的结论的序号是①②③④．

Answer 1

分析 ①利用直径所对的圆周角是直角，以及等腰三角形的三线合一性质即可得出结论；
②根据垂径定理可以证得OD⊥BE，然后证明DF∥BE，即可证得DF⊥OD，则依据切线的判定定理可以证得；
③利用DH是直角三角形的斜边上的高线，则∠DAB=∠BDH，结合∠BAD=∠DAC即可证得；
④根据等角对等边，可以证得DG=BG，DG=GM即可求证．

解答 解：①∵AB为⊙O的直径，
∴∠BDA=90°，即AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴BD=DC，∠BAD=∠DAE，
故①正确；
②连接OD，如图所示：
∵∠BAD=∠DAE，
∴$\widehat{BD}=\widehat{DE}$，
∴OD⊥BE，
∵AB是直径，
∴BE⊥AC
又∵DF⊥AC，
∴BE∥DF，
∴DF⊥OD，
∴DF是切线．故②正确；
③∵Rt△ABD中，DH⊥AB，
∴∠DAB=∠BDH，
又∵∠BAD=∠DAC，
∴∠DAC=∠BDH．
故③正确；
④∵∠DBE=∠DAC（同弧所对的圆周角相等），
∠BDH=∠DAC（已证），
∴∠DBE=∠BDH
∴DG=BG，
∵∠BDH+∠HDA=∠DBE+∠DMB=90°，
∴∠GDM=∠DMG
∴DG=GM
∴DG=$\frac{1}{2}$BM，
故④正确．
故答案为：①②③④．

点评 本题考查了切线的性质、三线合一定理、圆周角定理、垂径定理；熟练掌握等腰三角形的性质和圆周角定理，并能进行推理论证是解决问题的关键．