Question

【题目】在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴，y轴于A（a，0），B（0，b），且满足a2+b2+4a﹣8b+20＝0．

（1）求a，b的值；

（2）点P在直线AB的右侧；且∠APB＝45°，

①若点P在x轴上（图1），则点P的坐标为　 　；

②若△ABP为直角三角形，求P点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）a＝﹣2，b＝4；（2）①（4，0）；②P点坐标为（4，2），（2，﹣2）．

【解析】

（1）利用非负数的性质解决问题即可．
（2）①根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．
②分两种情形：如图2中，若∠ABP=90°，过点P作PC⊥OB，垂足为C．如图3中，若∠BAP=90°，过点P作PD⊥OA，垂足为D．分别利用全等三角形的性质解决问题即可．

（1）∵a2+4a+4+b2﹣8b+16＝0

∴（a+2）2+（b﹣4）2＝0

∴a＝﹣2，b＝4．

（2）①如图1中，

∵∠APB＝45°，∠POB＝90°，

∴OP＝OB＝4，

∴P（4，0）．

故答案为（4，0）．

②∵a＝﹣2，b＝4

∴OA＝2OB＝4

又∵△ABP为直角三角形，∠APB＝45°

∴只有两种情况，∠ABP＝90°或∠BAP＝90°

①如图2中，若∠ABP＝90°，过点P作PC⊥OB，垂足为C．

∴∠PCB＝∠BOA＝90°，

又∵∠APB＝45°，

∴∠BAP＝∠APB＝45°，

∴BA＝BP，

又∵∠ABO+∠OBP＝∠OBP+∠BPC＝90°，

∴∠ABO＝∠BPC，

∴△ABO≌△BPC（AAS），

∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2，

∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，

∴P（4，2）．

②如图3中，若∠BAP＝90°，过点P作PD⊥OA，垂足为D．

∴∠PDA＝∠AOB＝90°，

又∵∠APB＝45°，

∴∠ABP＝∠APB＝45°，

∴AP＝AB，

又∵∠BAD+∠DAP＝90°，

∠DPA+∠DAP＝90°，

∴∠BAD＝∠DPA，

∴△BAO≌△APP（AAS），

∴PD＝OA＝2，AD＝OB＝4，

∴OD＝AD﹣0A＝4﹣2＝2，

∴P（2，﹣2）．

综上述，P点坐标为（4，2），（2，﹣2）．