Question

【题目】如图1，△ABC 中，AB＝AC，点 D 在 AB 边上，点 E 在 AC 的延长线上，且 CE＝BD， 连接 DE 交 BC 于点 F．

⑴求证：EF＝DF；

⑵如图2，过点 D 作 DG⊥BC，垂足为 G，求证：BC＝2FG.

Answer 1

【答案】（1）答案见详解；（2）答案见详解.

【解析】

(1)过点D作DM∥AC，如图1，则∠ACB=∠DMB，∠DMF=∠ECF，进而可得：CE=MD，易证：DMF ECF，即可得到结论；

(2)过点D作DM∥AC，如图2，易证：DMF ECF，可得：MF=CF，根据等腰三角形三线合一，可得：BG=MG，进而可得到结论.

（1）过点D作DM∥AC，如图1，

则∠ACB=∠DMB，∠DMF=∠ECF，

∵AB＝AC，

∴∠B=∠ACB，

∴∠B=∠DMB，

∴BD=MD，

∵CE＝BD，

∴CE=MD，

在DMF和ECF中，

∵

∴DMF ECF（AAS）,

∴EF＝DF；

（2）过点D作DM∥AC，如图2，

由第（1）小题，可知：BD=MD，DMF ECF，

∴MF=CF，

∵DG⊥BC，

∴BG=MG（等腰三角形三线合一），

∴BC=BM+CM=2(GM+FM)=2FG，

图1 图2