Question

15．如图a所示，BP平分∠MBN，点D在射线BP上，∠ADC的两边分别交射线BM、BN于A、C两点，且∠ADC+∠MBN=180°

（1）猜想AD与DC之间的数量关系，直接写出你的结论；
（2）如图b是∠ADC绕着点D旋转一定角度得到的，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．

Answer 1

分析 （1）过D作DP⊥BM于P，DQ⊥BN于N，则∠DOA=∠DQC=90°，于是得到∠PDQ+∠MBN=180°，根据角平分线的性质得到∠ADC+∠MBN=180°，得到∠PDA=∠QDC，证出△ADP≌△CDQ，即可得到结论；
（2）如图2，过D作DP⊥BM于P，DQ⊥BN于N，方法同（1）．

解答 解：（1）猜想：AD=DC，
过D作DE⊥BM于P，DQ⊥BN于N，
∴∠DOA=∠DQC=90°，
∴∠PDQ+∠MBN=180°，
∵BP平分∠MBN，
∴DP=DQ，
∵∠ADC+∠MBN=180°，
∴∠ADC=∠PDQ，
∴∠PDA=∠QDC，
在△ADP与△CDQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APD=∠DQC}\\{DP=DQ}\\{∠ADP=∠CDQ}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△CDQ，
∴AD=CD；

（2）成立，
如图2，过D作DE⊥BM于P，DQ⊥BN于N，
∴∠DOA=∠DQC=90°，
∴∠PDQ+∠MBN=180°，
∵BP平分∠MBN，
∴DP=DQ，
∵∠ADC+∠MBN=180°，
∴∠ADC=∠PDQ，
∴∠PDA=∠QDC，
在△ADP与△CDQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APD=∠DQC}\\{DP=DQ}\\{∠ADP=∠CDQ}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△CDQ，
∴AD=CD．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．