Question

13．如图，抛物线y=ax²+2ax+c（a＞0）与x轴交于A（-3，0）、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，-3），抛物线的顶点为M．
（1）求a、c的值；
（2）求tan∠MAC的值；
（3）若点P是线段AC上一个动点，联结OP．问：是否存在点P，使得以点O、C、P为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得答案；
（2）根据勾股定理及逆定理，可得直角三角形，再根据正切函数等于对边比邻边，可得答案；
（3）根据相似三角形的性质，可得PC的长，根据等腰直角三角形的性质，可得PH与CH的长，可得P点坐标．

解答 解：（1）将A、C点坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{9a-6a+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=x²+2x-3；
（2）y=x²+2x-3=（x+1）²-4，顶点坐标M为（-1，-4）．
又A（-3，0），C（0，-3），
AC=3$\sqrt{2}$．MC=$\sqrt{2}$，AM=2$\sqrt{5}$．
∵AC²+MC²=AM²，
∴∠ACM=90°，
tan∠MAC=$\frac{MC}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$=$\frac{1}{3}$
（3）∠PCO=∠BAC=45°，
如图，
①当△PCO∽△BAC时，$\frac{PC}{BA}$=$\frac{CO}{AC}$，即$\frac{PC}{4}$=$\frac{3}{3\sqrt{2}}$，
解得PC=2$\sqrt{2}$．
过P作PH⊥y轴于H点，△PHC为等腰直角三角形，
PH=HC=2，-3+2=-1，
∴P（-2，-1）；
②当△PCO∽△CAB时，$\frac{PC}{CA}$=$\frac{CO}{AB}$，即$\frac{PC}{3\sqrt{2}}$=$\frac{3}{4}$，
解得PC=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$．
过P作PH⊥y轴于H点，△PHC为等腰直角三角形，
PH=HC=$\frac{9}{4}$，-3+$\frac{9}{4}$=-$\frac{3}{4}$，
P（-$\frac{9}{4}$，-$\frac{3}{4}$）．
综上所述：存在点P使得以点O、C、P为顶点的三角形与△ABC相似，出P点的坐标（-2，-1），（-$\frac{9}{4}$，-$\frac{3}{4}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用勾股定理及逆定理得出直角三角形是解题关键；利用相似三角形的性质得出PC的长是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．