Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA＝∠PBD．

（1）求证：PD是⊙O的切线；

（2）如果，PD＝，求PA的长．

Answer 1

【答案】（1）切线，理由详见解析；（2）PA=1

【解析】

（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；

（2）根据BE是⊙O的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD为⊙O的切线，得∠PDO=90°，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA.

（1）证明：如图1，连接OD，

∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°

∴∠ADO+∠BDO=90°，

又∵DO=BO，∴∠BDO=∠PBD

∵∠PDA=∠PBD，∴∠BDO=∠PDA

∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD

∵点D在⊙O上，∴直线PD为⊙O的切线．

（2）∵BE是⊙O的切线，∴∠EBA=90°

∵∠BED=60°，∴∠P=30°

∵PD为⊙O的切线，∴∠PDO=90°

在Rt△PDO中，∠P=30°，PD＝

∴tan30°＝，解得OD=1

∴PO＝＝2

∴PA=PO-AO=2-1=1