【题目】如图,在矩形ABCD中,点O在对角线AC上,以OA的长为半径的⊙O与AD、AC分别交于点E、F,且∠ACB=∠DCE.
(1)判断直线CE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若AB=,BC=2,求⊙O的半径.
【答案】(1)直线CE与⊙O相切,理由见解析;(2)⊙O的半径为
【解析】
(1)首先连接OE,由OE=OA与四边形ABCD是矩形,易求得∠DEC+∠OEA=90°,即OE⊥EC,即可证得直线CE与⊙O的位置关系是相切;
(2)首先易证得△CDE∽△CBA,然后根据相似三角形的对应边成比例,即可求得DE的长,又由勾股定理即可求得AC的长,然后设OA为x,即可得方程,解此方程即可求得⊙O的半径.
解:(1)直线CE与⊙O相切.…
理由:连接OE,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠D=∠BAD=90°,BC∥AD,CD=AB,
∴∠DCE+∠DEC=90°,∠ACB=∠DAC,
又∠DCE=∠ACB,
∴∠DEC+∠DAC=90°,
∵OE=OA,
∴∠OEA=∠DAC,
∴∠DEC+∠OEA=90°,
∴∠OEC=90°,
∴OE⊥EC,
∵OE为圆O半径,
∴直线CE与⊙O相切;…
(2)∵∠B=∠D,∠DCE=∠ACB,
∴△CDE∽△CBA,
∴ ,
又CD=AB=,BC=2,
∴DE=1
根据勾股定理得EC=,
又,…
设OA为x,则,
解得,
∴⊙O的半径为.
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【题目】某水果超市以每千克6元的价格购进了一批水果,经测算,此水果超市每天需支出固定费用(包括房租,水电费,员工工资等)为600元.若该种水果的销售单价不超过10元,则日销售量为300千克;若该种水果的销售单价超过10元,则每超过1元,日销售就减少12千克.设该种水果的销售单价为x(x>6,且x为整数)元,日净收入为y元(日净收入=日销售利润﹣每天固定支出的费用).
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)此水果超市销售该种水果的日净收入能否达到1560元?否能,请求出此时的销售单价.
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【题目】抛物线与轴交于两点(点在点的左侧),与轴交于点.已知,抛物线的对称轴交轴于点.
(1)求出的值;
(2)如图1,连接,点是线段下方抛物线上的动点,连接.点分别在轴,对称轴上,且轴.连接.当的面积最大时,请求出点的坐标及此时的最小值;
(3)如图2,连接,把按照直线对折,对折后的三角形记为,把沿着直线的方向平行移动,移动后三角形的记为,连接,,在移动过程中,是否存在为等腰三角形的情形?若存在,直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图1,在Rt△GMN中,∠M=90°,P为MN的中点
(1)将线段MP绕着点M逆时针旋转60°得到线段MQ,点P的对应点为Q,若点Q刚好落在GN上,
①在图1中画出示意图;
②试问:以线段MQ为直径的圆是否与GN相切?请说明理由;
(2)如图2,用直尺和圆规在GN边上求作点Q,使得∠GQM=∠PQN.(保留作图痕迹,不要求写作法)
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【题目】如图,在正方形网格图中建立一直角坐标系,一条圆弧经过网格点A、B、C,请在网格中进行下列操作:
(1)在图中确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置,并写出点D点坐标为________.
(2)连接AD、CD,求⊙D的半径及的长;
(3)有一点E(6,0),判断点E与⊙D的位置关系.
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【题目】下面是小东设计的“作圆的一个内接矩形,并使其对角线的夹角为60°”的尺规作图过程
已知:⊙O
求作:矩形ABCD,使得矩形ABCD内接于⊙O,且其对角线AC,BD的夹角为60°.
作法:如图
①作⊙O的直径AC;
②以点A为圆心,AO长为半径画弧,交直线AC上方的圆弧于点B;
③连接BO并延长交⊙O于点D;
所以四边形ABCD就是所求作的矩形.
根据小东设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹);
(2)完成下面的证明.
证明:∵点A,C都在⊙O上,
∴OA=OC
同理OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AC是⊙O的直径,
∴∠ABC=90° ( )(填推理的依据)
∴四边形ABCD是矩形
∵AB= =BO,
∴四边形ABCD四所求作的矩形
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【题目】如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,对称轴是直线x=﹣2.关于下列结论:①ab<0;②b2﹣4ac>0;③9a﹣3b+c>0;④b﹣4a=0;⑤ 方程ax2+bx=0的两个根为 x1=0,x2=﹣4,其中正确的结论有( )
A.②③B.②③④C.②③⑤D.②③④⑤
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【题目】已知:在△ABC中,点D、点E分别在边AB、AC上,且DE // BC,BE平分∠ABC.
(1)求证:BD=DE;
(2)若AB=10,AD=4,求BC的长.
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【题目】一块长30cm,宽12cm的矩形铁皮,
(1)如图1,在铁皮的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作成一个底面积为144cm2的无盖方盒,如果设切去的正方形的边长为xcm,则可列方程为 .
(2)由于实际需要,计划制作一个有盖的长方体盒子,为了合理使用材料,某学生设计了如图2的裁剪方案,空白部分为裁剪下来的边角料,其中左侧两个空白部分为正方形,问能否折出底面积为104cm2的有盖盒子(盒盖与盒底的大小形状完全相同)?如果能,请求出盒子的体积;如果不能,请说明理由.
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