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【题目】如图,在矩形ABCD中,点O在对角线AC上,以OA的长为半径的⊙OADAC分别交于点EF,且∠ACB=∠DCE

1)判断直线CE与⊙O的位置关系,并说明理由;

2)若ABBC2,求⊙O的半径.

【答案】1)直线CE与⊙O相切,理由见解析;(2)⊙O的半径为

【解析】

1)首先连接OE,由OE=OA与四边形ABCD是矩形,易求得∠DEC+OEA=90°,即OEEC,即可证得直线CE与⊙O的位置关系是相切;
2)首先易证得CDE∽△CBA,然后根据相似三角形的对应边成比例,即可求得DE的长,又由勾股定理即可求得AC的长,然后设OAx,即可得方程,解此方程即可求得⊙O的半径.

解:(1)直线CE与⊙O相切.

理由:连接OE

∵四边形ABCD是矩形,

∴∠B=∠D=∠BAD90°BCADCDAB

∴∠DCE+DEC90°,∠ACB=∠DAC

又∠DCE=∠ACB

∴∠DEC+DAC90°

OEOA

∴∠OEA=∠DAC

∴∠DEC+OEA90°

∴∠OEC90°

OEEC

OE为圆O半径,

∴直线CE与⊙O相切;

2)∵∠B=∠D,∠DCE=∠ACB

∴△CDE∽△CBA

CDABBC2

DE1

根据勾股定理得EC

OAx,则

解得

∴⊙O的半径为

练习册系列答案
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已知:⊙O

求作:矩形ABCD,使得矩形ABCD内接于⊙O,且其对角线ACBD的夹角为60°

作法:如图

①作⊙O的直径AC

②以点A为圆心,AO长为半径画弧,交直线AC上方的圆弧于点B

③连接BO并延长交⊙O于点D

所以四边形ABCD就是所求作的矩形.

根据小东设计的尺规作图过程,

(1)使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹)

(2)完成下面的证明.

证明:∵点AC都在⊙O上,

OA=OC

同理OB=OD

∴四边形ABCD是平行四边形

AC是⊙O的直径,

∴∠ABC=90° (填推理的依据)

∴四边形ABCD是矩形

AB= =BO

∴四边形ABCD四所求作的矩形

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