Question

【题目】如图，△ABC和△DBE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接CE．

（1）如图1，若∠BAC=∠BCA=∠BDE=∠BED=55°

①求证：AD=CE；

②求∠AEC的度数．

（2）如图2，若∠ABC=∠DBE=120°，BM为△BDE中DE边上的高，CN为△ACE中AE边上的高，试证明：AE=．

Answer 1

【答案】（1）①证明见解析②70°（2）

【解析】（1）关键全等三角形的判定方法，判断出△BAD≌△CAE，即可判断出BD=CE.

（2）①首先根据△ACB和△CE均为等腰三角形，可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，据此判断出∠ACD=∠BCE；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD≌△BCE，即可判断出BE=AD，∠BEC=∠ADC，进而判断出∠AEB的度数为90°即可；

解：（1）证明：∵∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC=55°，

∴∠ABD=∠CBE．

∵△ABC和△DBE均为以点B为腰上顶点的等腰三角形．

∴BA=BC，BD=BE　

∴△ABD≌△CBE．

∴AD=CE　

②：解：∵△ABD≌△CBE（已证）

∴∠BDA=∠BEC=180°-∠BDE

∵∠AEC=∠BEC-∠BED

∴∠AEC =180°-2∠BDE=70°

（2）同理可证：AD=CE，∠AEC=120° ，∴∠CEN=60°，

∵CN为△ACE中AE边上的高，

∴∠ECN=30°，∵CN=a，

根据勾股定理:CE=，

∴AD=CE=，

∵△DBE为等腰三角形, BM为△BDE中DE边上的高

∴DE=2DM，

∵∠DBE=120°，∴∠BDM=30°，

∴根据勾股定理:DM=，

∴DE=2DM=2 ，

∴AE=AD+DE=+2

“点睛”此题主要考查了全等三角形的判定方法和性质，等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.