Question

定义[a，b，c]为函数y=ax²+bx+c的特征数，下面给出特征数为[m，1-m，-1]的函数的一些结论：
①当m=-1时，函数图象的顶点坐标是（1，0）；
②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于1；
③当m＜0时，函数在x＜

1

2

时，y随x的增大而减小；
④当m≠0时，函数图象经过同一个点．
其中正确的结论有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：新定义

分析：①把m=-1代入[m，1-m，-1]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；
②令函数值为0，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；
③根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答；
④首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可．

解答：解：根据定义可得函数y=mx²+（1-m）x-1，
①当m=-1时，函数解析式为y=-x²+2x-1，
∵y=-x²+2x-1=-（x-1）²，
∴顶点坐标是（1，0），正确；
②函数y=mx²+（1-m）x-1与x轴两交点坐标为（1，0），（-

1

m

，0），
当m＞0时，1-（-

1

m

）=1+

1

m

＞1，正确；
③当m＜0时，函数y=mx²+（1-m）x-1开口向下，对称轴x=

1

2

-

1

2m

＞

1

2

，
∴函数在x＜

1

2

时，y随x的增大而增大，错误；
④当m≠0时，把x=1代入解析式，得y=0，则函数一定经过点（1，0），正确．
故选C．

点评：此题考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征，难度适中．