Question

13．已知，如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E，M是DE的中点，BE与AM交于点N．求证：∠EBC=∠DAM．

Answer 1

分析 取AD的中点H，连接HM，根据三角形的中位线的性质得到HM∥AC，得到∠DHM=∠DAC，根据已知条件得到∠DAC=∠EDC，于是得到∠AHM=∠BDE，推出△DEC∽△AED，得到$\frac{DC}{AD}=\frac{DE}{AE}$等量代换得到$\frac{BD}{AH}=\frac{DE}{HM}$，求得△BDE∽△AHM，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：取AD的中点H，连接HM，
∵M是DE的中点，
∴HM∥AC，
∴∠DHM=∠DAC，
∵AD⊥BC，DE⊥AC，
∴∠DAC=∠EDC，
∴∠AHM=∠BDE，
∵AD⊥BC，DE⊥AC，
∴△DEC∽△AED，
∴$\frac{DC}{AD}=\frac{DE}{AE}$，
∵AD=2AE，AE=2HM，BD=CD，
∴$\frac{BD}{AH}=\frac{DE}{HM}$，
∴△BDE∽△AHM，
∴∠EBD=∠DAM．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．