Question

如图，矩形ABCD中，O是两条对角线的交点，AF垂直平分线段OB，垂足为E，CH垂直平分线段OD，垂足为G．求证：
（1）△AOB是等边三角形；
（2）四边形AFCH是菱形．

Answer 1

考点：菱形的判定,等边三角形的判定,矩形的性质

专题：证明题

分析：（1）根据矩形的性质推出OA=OB，根据线段垂直平分线的性质得出AB=OA，得出等边三角形OAB；
（2）根据矩形的性质得出AH∥CF，根据垂直得出AF∥CH，求出∠DAC=∠ACG=30°，推出AH=CH，根据平行四边形的判定和菱形的判定得出即可．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OA=OB=OC=OD，
∵AF垂直平分线段OB，
∴AB=OA，
∴AB=OA=OB，
∴△AOB是等边三角形；

（2）∵△BAO是等边三角形，
AE⊥BD，
∴∠BAE=∠CAE=30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠DAB=90°，
∴∠DAC=90°-30°-30°=30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OA=OB=OC=OD，
∵CH垂直平分线段OD，
∴CD=OC，
∴CD=OD=OC，
∴△DOC是等边三角形，
∵CG⊥BD，
∴∠DCG=∠ACG=30°，
∴∠DAC=∠ACG，
∴AH=CH，
∵AE⊥BD，CG⊥BD，
∴AF∥CH，
∵AD∥BC，
∴四边形AFCH是菱形．

点评：本题考查了线段垂直平分线性质，矩形的性质，平行四边形的判定，等腰三角形的判定，菱形的判定的应用，解此题的关键是推出四边形AFCH是平行四边形和求出AH=CH．