Question

2．如图，抛物线y=m（x+2）²-5与x轴相交于A、B两点，且AB=6，顶点为M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将此抛物线绕x轴的正半轴上一点C旋转180°后，所得抛物线的顶点为N，与x轴分别交于D、E两点（点D在点E的左边），设点N的横坐标为n，用含n的式子表示△MNE的面积S；
（3）在（2）的条件下，若以点M、N、E为顶点的三角形是直角三角形时，求点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据函数值相等的两点关于对称轴对称，可得A、B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据旋转的性质，可得N、E、D的坐标，根据x轴上两点间的距离是大数减小数，可得CE的长，根据面积的和差，可得答案；
（3）根据勾股定理，可得MN²=（n+2）²+（5+5）²，ME²=（n+5）²+5²，NE²=（n+3-n）²+5²=34，根据勾股定理的逆定理，可得关于n的方程，根据解方程，可得n的值，可得C点坐标．

解答 解：（1）抛物线y=m（x+2）²-5，得
对称轴为x=-2．
由抛物线y=m（x+2）²-5与x轴相交于A、B两点，且AB=6，得
-2+3=1，即B（1，0），-2-3=-5，即A（-5，0），
将A点坐标代入函数解析式，得
9m-5=0，解得m=$\frac{5}{9}$，
抛物线的解析式y=$\frac{5}{9}$（x+2）²-5；
（2）如图1

由旋转的性质，得
N（n，5），E（n+3，0），D（n-3，0）．
E、A关于C点对称，得
C点坐标（$\frac{n-2}{2}$，0）．
CE的长为n+3-$\frac{n-2}{2}$=$\frac{n+8}{2}$．
S=S_△MCE+S_△NCE=$\frac{1}{2}$CE•|y_M|+$\frac{1}{2}$CE•y_N=$\frac{1}{2}$•$\frac{8+n}{2}$×|-5|+$\frac{1}{2}$•$\frac{8+n}{2}$×5=$\frac{5}{2}$n+20；
（3）MN²=（n+2）²+（5+5）²，ME²=（n+5）²+5²，NE²=（n+3-n）²+5²=34；
①当MN²+ME²=NE²时，（n+2）²+（5+5）²+（n+5）²+5²=34，
化简，得n²+7n+60=0，△=7²-4×1×60=-191＜0，方程无解；
②如图2
，
当MN²+NE²=ME²时，（n+2）²+（5+5）²+34=（n+5）²+5²，
化简，得6n=88，解得n=$\frac{44}{3}$，
$\frac{n-2}{2}$=$\frac{\frac{44}{3}-2}{2}$=$\frac{19}{3}$，
此时C点坐标为（$\frac{19}{3}$，0）；
③如图3

当NE²+ME²=MN²时，（n+5）²+5²+34=（n+2）²+（5+5）²，
化简，得6n=20，
解得n=$\frac{10}{3}$，
$\frac{n-2}{2}$=$\frac{\frac{10}{3}-2}{2}$=$\frac{2}{3}$，
此时C点坐标为（$\frac{2}{3}$，0）．
综上所述：若以点M、N、E为顶点的三角形是直角三角形时，点C的坐标（$\frac{19}{3}$，0），（$\frac{2}{3}$，0）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用函数值相等的两点关于对称轴对称得出A、B点坐标是解题关键，又利用了待定系数法求函数解析式；利用了旋转的性质，又利用了面积的和差；利用勾股定理得出关于n的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．