【题目】如图,点C、D在线段AB上,△PCD是等边三角形,且CD2=ADBC.
(1)求证:△APD∽△PBC;
(2)求∠APB的度数.
【答案】(1)见解析;(2)120°
【解析】
(1)CD2=ADBC可得AD:PC=PD:BC,又由△PCD是等边三角形,所以可求出∠ADP=∠BCP=120°,进而证明△ACP∽△PDB;
(2)由△APD∽△PBC,可得∠APD=∠B,则可求得∠APB的大小.
(1)证明:∵△PCD是等边三角形,
∴PD=PC=DC,∠PDC=∠PCD=60°,
∴∠ADP=∠BCP=120°,
∵CD2=ADBC,
∴AD:PC=PD:BC,
∴△APD∽△PBC;
(2)∵△APD∽△PBC,
∴∠APD=∠B,
∵∠B+∠BPC=60°,
∴∠APD+∠BPC=60°,
∴∠APB=60°+∠DPC=120°.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,D为边BC上一点,以AB,BD为邻边作ABDE,连接AD,EC.
(1)求证:△ADC≌△ECD;
(2)若BD=CD,求证:四边形ADCE是矩形.
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【题目】如图,点E是矩形ABCD边AD上的一个动点,且与点A、点D不重合,连结BE、CE,过点B作BF∥CE,过点C作CF∥BE,交点为F点,连接AF、DF分别交BC于点G、H,则下列结论错误的是( )
A. GH=BC B. S△BGF+S△CHF=S△BCF
C. S四边形BFCE=ABAD D. 当点E为AD中点时,四边形BECF为菱形
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【题目】如图,在中,,是边上任意一点(点与点、不重合),以为一直角边在的外部作,,连接,.
(1)在图中,若,,现将图中的绕着点顺时针旋转锐角,得到图,那么线段,之间有怎样的关系,写出结论,并说明理由;
(2)在图中,若,,,,现将图中的绕着点顺时针旋转锐角,得到图,连接、.
①求证:;
②计算:的值.
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【题目】如图是一种雪球夹的简化结构图,其通过一个固定夹体和一个活动夹体的配合巧妙地完成夹雪、投雪的操作,不需人手直接接触雪,使用方便,深受小朋友的喜爱.当雪球夹闭合时,测得∠AOB=30°,OA=OB=14 cm,则此款雪球夹制作的雪球的直径AB的长度为________ cm.(结果保留一位小数.参考数据:sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27)
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【题目】综合与实践:折纸中的数学
问题背景
在数学活动课上,老师首先将平行四边形纸片ABCD按如图①所示方式折叠,使点C与点A重合,点D落到D′处,折痕为EF.这时同学们很快证得:△AEF是等腰三角形.接下来各学习小组也动手操作起来,请你解决他们提出的问题.
操作发现
(1) “争先”小组将矩形纸片ABCD按上述方式折叠,如图②,发现重叠部分△AEF恰好是等边三角形,求矩形ABCD的长、宽之比是多少?
实践探究
(2)“励志”小组将矩形纸片ABCD沿EF折叠,如图③,使B点落在AD边上的B′处;沿B′G折叠,使D点落在D′处,且B′D′过F点.试探究四边形EFGB′是什么特殊四边形?
(3)再探究:在图③中连接BB′,试判断并证明△BB′G的形状.
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【题目】如图,l1∥l2∥l3∥l4∥l5,且l1,l2,l3,l4,l5中相邻两条直线之间的距离相等,△ABC的顶点A,B,C分别在l1,l3,l5上,AB交l2于点D,BC交l4于点E,AC交l2于点F,若△DEF的面积是1,则△ABC的面积是( )
A.3. 5B.4C.4.5D.5
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【题目】如图,在△ABC中,BC=6,E,F分别是AB,AC的中点,动点P在射线EF上,BP交CE于点D,∠CBP的平分线交CE于点Q,当CQ=CE时,EP+BP的值为( )
A.6B.9C.12D.18
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