Question

【题目】有一块等腰三角形白铁皮余料ABC，它的腰AB＝10cm，底边BC＝12cm．

（1）圆圆同学想从中裁出最大的圆，请帮他求出该圆的半径；

（2）方方同学想从中裁出最大的正方形，请帮他求出该正方形的边长．

Answer 1

【答案】（1）等腰三角形中裁出最大的圆的半径为3cm；（2）等腰三角形中裁出最大的正方形的边长为cm．

【解析】

（1）如图1，⊙O为等腰△ABC的内切圆，作AD⊥BC于D，利用等腰三角形的性质得BD=CD=6，利用勾股定理得AD=8，设⊙O的半径为R，利用切线的性质和三角形面积公式得到（AB+AC+BC）=AD×BC，从而可求出半径r；

（2）如图2，正方形EFGH为等腰△ABC的最大内接正方形，作高AD交EH于M，设正方形的边长为xcm，证明△AEH∽△ABC，利用相似比得到，然后解方程即可．

解：（1）如图1，⊙O为等腰△ABC的内切圆，作AD⊥BC于D，

∵AB＝AC，

∴BD＝CD＝6，

在Rt△ABD中，AD＝＝8，

设⊙O的半径为R，

∵S△ABC＝×r×（AB+AC+BC）＝AD×BC，

∴r＝＝3，

答：等腰三角形中裁出最大的圆的半径为3cm；

（2）如图2，正方形EFGH为等腰△ABC的最大内接正方形，作高AD交EH于M，

设正方形的边长为xcm，

由（1）得AD＝8，则AM＝8﹣x，

∵EH∥BC，

∴△AEH∽△ABC，

∴，即，解得．

答：等腰三角形中裁出最大的正方形的边长为cm．