Question

【题目】（一）如图（1），已知圆，点、在圆上，且为等边三角形，点为直线与圆的一个交点.连接，，证明：

（方法迁移）

（二）如图（2），用直尺和圆规在矩形内作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）.

（深入探究）

（三）已知矩形，，，为边上的点，若满足的点P恰有两个，求的取值范围.

（四）已知矩形，，，为矩形内一点，且，若点绕点逆时针旋转到点，求的最小值，并求此时的面积.

Answer 1

【答案】（1）见详解；

（2）见详解 ；

（3）2≤m<2+.

（4）的最小值为-2.，并求此时的面积是.

【解析】

（1）根据圆周角定理即可证明；

（2）根据圆周角定理可知点∠BPC所对弧所对的圆心角等于90°，所以作出一个90°的圆心角即可；

（3）由点P要在AD上，且有两个，故AD应与圆O相交，且要在EF的上方，从而先算出临界值，则m在它们之间.

（4）先确定出当A,P,O在同一直线上时，AP取得最小值，从而得出此时PQ取得最小值，画出图形，利用勾股定理求解即可.利用相似三角形的性质和判定求出的高，再利用三角形的面积计算公式计算即可.

证明：（1）如图1所示，连接AP,BP.

∵为等边三角形，

∴∠AOB=60°.

∵∠APB=∠AOB,

∴∠APB=30°.

解：（2）如图2所示：点P在上即可.

（3）由（2）得，要使的点P恰有两个，则AD与相交，如图3所示，

①当AD与⊙O相切时，连接OP，并延长PO与BC相交于Q，

∵AD与⊙O相切，

∴∠APQ=90°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠ABQ=90°.

∴∠A=∠ABQ=∠APQ=90°.

∴四边形ABQP为矩形，

∴PQ=AB=m.

∵△BOC是等腰直角三角形，

∴OQ=BC=，OB=2.

∴PQ=2+.

∴m<2+.

②当AD与EF重合时，

m=BE=BC=2

综上所述，m的取值范围为：2≤m<2+.

（4）如图4所示：

依题意可知，当A,P,O在同一直线上时，AP有最小值，此时PQ最小.

过点O作OH⊥BC于H，作OG⊥AB于G，过点P作PM⊥AB于M，连接OP，OB.

∵∠GBH=90°，

∴四边形BGOH为矩形，

∴OG=BH=BC=.

∵∠BPC=120°，

∴∠BOC=120°，

∵OB=OC,

∴∠OBH=30°.

∴设OH=x，则OB=2x.

在Rt△OBH中

OB2-OH2=BH2,

即4x2-x2=()2,

解得：x=1.

∴OH=1,OB=2.

∵AB=3,

∴AG=4.

在Rt△AGO中

OA==

∴AP=-2.

根据旋转的性质可知，AQ=AP=-2，∠PAQ=90°，

根据勾股定理可求得：PQ==AP=-2.

∵OG⊥AB，PM⊥AB

∴PM∥OG,

∴=

∵OG=,AP=-2,OA=

∴PM=.

∴的面积=ABPM=3=.

答：的最小值为-2.，并求此时的面积是.