Question

4．如图，点A是反比例函数y₁=$\frac{k}{x}$（k＜0，x＜0）的图象上的任意一点，过点A作AB⊥x轴于点B，并延长交另一个反比例函数y₂=$\frac{12}{x}$（x＜0）的图象于点C，连接OC，S_△AOB=3．
（1）求k的值；
（2）若点A的横坐标是-3；则反比例函数y₂=$\frac{12}{x}$的图象上是否存在点D，使四边形AOCD是平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）只需根据反比例函数系数k的几何意义即可解决问题；
（2）过点D作DH⊥AC于H，如图所示，由点A的横坐标是-3可求出点A、C的坐标，易证△DHC≌△OBA，则有DH=OB=3，CH=AB=2，即可得到BH=2，从而得到点D的坐标，然后将点D的坐标代入y₂=$\frac{12}{x}$进行验证，就可解决问题．

解答 解：（1）根据反比例函数的几何意义可得：
S_△AOB=$\frac{1}{2}$•$|\begin{array}{l}{k}\end{array}|$=3．
∵k＜0，
∴k=-6；

（2）过点D作DH⊥AC于H，如图．
∵x_A=-3，
∴x_C=x_A=-3，y_A=$\frac{-6}{-3}$=2，
∴OB=3，AB=2，y_C=$\frac{12}{-3}$=-4，
∴BC=4．
∵四边形AOCD是平行四边形，
∴CD=OA，CD∥OA，
∴∠DCA=∠OAC，
在△DHC和△OBA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DHC=∠OBA}\\{∠DCH=∠OAB}\\{CD=AO}\end{array}\right.$，
∴△DHC≌△OBA，
∴DH=OB=3，CH=AB=2，
∴BH=BC-CH=4-2=2，
∴点D的坐标为（-6，-2）．
当x=-6时，y=$\frac{12}{-6}$=-2，
∴点D在反比例函数y₂=$\frac{12}{x}$的图象上，
∴反比例函数y₂=$\frac{12}{x}$的图象上存在点D，使四边形AOCD是平行四边形，
此时点D的坐标为（-6，-2）．

点评 本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，构造全等三角形求出点D的坐标是解决第（2）小题的关键．