Question

【题目】某公司根据市场需求销售A、B两种型号的净水器，每台A型净水器比每台B型净水器进价多200元，用5万元购进A型净水器与用4.5万元购进B型净水器的数量相等．

（1）求每台A型、B型净水器的进价各是多少元？

（2）该公司计划用不超过9.8万元购进A，B两种型号的净水器共50台，其中A型、B型净水器每台售价分别为2500元、2180元，设A型净水器为x台．

①求x的取值范围．

②若公司决定从销售A型净水器的利润中每台捐献a（100＜a＜150）元给贫困村饮水改造爱心工程，求售完这50台净水器后获得的最大利润．

Answer 1

【答案】（1）A型净水器每台的进价为2000元，B型净水器每台的进价为1800元；（2）①x的取值范围为：0≤x≤40且为x整数，②售完这50台净水器后获得的最大利润为23800﹣40a

【解析】

（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题；

（2）①根据购买资金＝A型净水器的进价×购进数量+B型净水器的进价×购进数量结合购买资金不超过9.8万元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围；

②由总利润＝每台A型净水器的利润×购进数量+每台B型净水器的利润×购进数量﹣a×购进A型净水器的数量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．

（1）设A型净水器每台的进价为m元，则B型净水器每台的进价为（m﹣200）元，

根据题意得：，

解得：m＝2000，

经检验，m＝2000是分式方程的解，∴m﹣200＝1800．

答：A型净水器每台的进价为2000元，B型净水器每台的进价为1800元；

（2）①根据题意得：2000x+1800（50﹣x）≤98000，解得：x≤40

∴x的取值范围为：0≤x≤40且为x整数；

②总利润w＝（2500﹣2000）x+（2180﹣1800）（50﹣x）﹣ax＝（120﹣a）x+19000，

∵100＜a＜150，

∴i）．当100＜a＜120时，120﹣a＞0，w随x增大而增大，

∴当x＝40时，w取最大值，最大值为（120﹣a）×40+19000＝23800﹣40a，

ii）．当a＝120时，w为一个定值w＝0+19000＝19000，

iii）当120＜a＜150时，120﹣a＜0，w随x的增大而减小，

∴当x＝0时，w取最大值，其最大值为：（120﹣a）×0+19000＝19000，

综上，当100＜a＜120时，19000＜23800﹣40a＜19800，

∴售完这50台净水器后获得的最大利润为23800﹣40a．