Question

如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，⊙O经过A、C、D三点．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若∠ABC=72°，连接CF，判断线段CF与DG的大小．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）如图，作辅助线，证明△AOC≌△DOC，得到∠ACO=∠DCO；证明∠ACB=∠DCE，得到∠OCB=∠OCE=90°，即可解决问题．
（2）证明∠FAC=∠FCA，进而得到AF=CF；由圆的对称性知：AF=DG，即可解决问题．

解答：解：（1）连接OA、OC、OD；
在△AOC与△DOC中，

AC=DC OA=OD OC=OC

，
∴△AOC≌△DOC（SSS），
∴∠ACO=∠DCO；而AB=AC，
∴∠B=∠ACB，∠ACB=∠DCE；
∴∠OCB=∠OCE=

1

2

×180°=90°，
∴BE是⊙O的切线．
（2）CF=DG．理由如下：
若∠ABC=72°，则：
∠BCA=180°-2×72°=36°，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠BCE=∠FAC=36°；
∠ACF=72°-36°=36°，
∴∠FAC=∠FCA，AF=CF；
由圆的对称性知：AF=DG，
∴CF=DG．

点评：该题主要考查了圆的切线的判定及其性质的应用问题；解题的关键是作辅助线，运用切线的判定定理及性质定理来分析、判断、推理或解答．