Question

如图，一次函数y=kx+3的图象与反比例函数y=

m

x

（x＞0）的图象交于点P、Q，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、点D，且S_△DBP=6，OC=CA．
（1）求点D的坐标；
（2）求一次函数与反比例函数的表达式；
（3）求△OPQ的面积．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）将x=0代入y=kx+3，求出y的值，即可得到一次函数与y轴的交点D的坐标；
（2）先证明△COD∽△CAP，根据相似三角形对应边的比相等得到

OD

AP

=

OC

AC

=1，由OD=3，求得AP=OB=3，则DB=OD+OB=6，再由S_△DBP=6，求出BP=2，于是P（2，-3），然后把P点坐标分别代入y=kx+3与y=

m

x

，利用待定系数法即可求解；
（3）先把y=-3x+3代入y=-

6

x

，解方程得到Q点坐标，再根据△OPQ的面积=△OPD的面积+△OQD的面积，代入数值计算即可求解．

解答：解：（1）∵一次函数y=kx+3与y轴相交于点D，
∴令x=0，解得y=3，
∴D的坐标为（0，3）；

（2）∵OD⊥OA，AP⊥OA，
∴∠DOC=∠CAP=90°．
在△COD与△CAP中，

∠DOC=∠PAC ∠DCO=∠PCA

，
∴△COD∽△CAP，
∴

OD

AP

=

OC

AC

=1，OD=3，
∴AP=OB=3，
∴DB=OD+OB=6，
∵S_△DBP=6，
∴

1

2

×6×BP=6，
∴BP=2，故P（2，-3），
把P点坐标代入y=kx+3，
得-3=2k+3，解得k=-3，
则一次函数的解析式为：y=-3x+3；
把P点坐标代入反比例函数解析式得m=-6，
则反比例解析式为：y=-

6

x

；

（3）把y=-3x+3代入y=-

6

x

，得-3x+3=-

6

x

，
整理，得x²-x-2=0，
解得x=-1或2，
当x=-1时，y=6，
当x=2时，y=-3，
∵P（2，-3），
∴Q（-1，6）．
△OPQ的面积=△OPD的面积+△OQD的面积
=

1

2

×3×2+

1

2

×3×1
=3+1.5
=4.5．

点评：本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，在解题时要注意知识的综合运用与图形相结合是解题的关键．