Question

设一个三角形的三边长是a、b、c．
（1）a²、b²、c²一定可以是一个三角形的边长吗？若是，说明理由；若不是，请举例说明．
（2）ab、bc、ca一定可以是一个三角形的三边长吗？若是，说明理由；若不是，请举例说明．
（3）求证：a²+bc、b²+ca、c²+ab一定可以是一个三角形的三边长．

Answer 1

考点：三角形边角关系

专题：

分析：（1）不一定；举出一个反例：a=3、b=4、c=5即可解决问题．
（2）不一定；举出一个反例：a=2、b=4、c=5即可解决问题．
（3）运用均值不等式a²+b²≥2ab，结合三角形的边角关系，即可解决问题．

解答：（1）解：a²、b²、c²不一定是一个三角形的边长；
如a=3、b=4、c=5是一个直角三角形的边长，
此时，a²=9，b²=16，c²=25；
∵9+16=25，这与三角形中任意两边之和大于第三边矛盾，
∴a²、b²、c²不是一个三角形的边长．
（2）解：ab、bc、ca不一定是一个三角形的三边长；
如a=2，b=4，c=5是一个三角形的边长，
此时ab=8，bc=20，ac=10；
∵8+10＜20，这与三角形中任意两边之和大于第三边矛盾，
∴ab、bc、ca不是一个三角形的三边长．
（3）证明：∵a²+b²≥2ab，
∴a²+bc+b²+ca≥2ab+（a+b）c＞ab+（a+b）c，
∵a+b＞c，
∴a²+bc+b²+ca＞c²+ab；
同理可证：b²+ca+c²+ab＞a²+bc，
a²+bc+c²+ab＞b²+ca，
∴a²+bc、b²+ca、c²+ab一定可以是一个三角形的三边长．

点评：该题主要考查了三角形的三边关系及其应用问题；解题的关键是灵活运用三边关系来分析、变形、讨论、判断；对综合的分析问题解决问题的能力、灵活的变形转化能力等均提出了较高的要求．