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【题目】如图,抛物线yax2+bx+ca≠0)的图象过点M(﹣2),顶点坐标为N(﹣1),且与x轴交于AB两点,与y轴交于C点.

1)求抛物线的解析式;

2)点P为直线y=﹣1上的动点,Q是抛物线线上的动点,若以ACPQ为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐标;

3)在直线AC上是否存在一点Q,使QBM的周长最小?若存在,求出Q点坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1y=﹣;(2)点P0,﹣1)或(﹣22,﹣1)或(﹣,﹣1);(3)存在,点Q(﹣).

【解析】

1)抛物线的表达式为:yax+12,将点M的坐标代入上式,即可求解;

2)分AC是平行四边形的一条边、AC是平行四边形对角线两种情况,分别求解即可;

3)作点M关于直线AC的对称轴M,连接BM交直线AC于点P,则点P为所求,即可求解.

解:(1)抛物线的表达式为:yax+12

将点M的坐标代入上式得:a(﹣2+12,解得:a=﹣

故抛物线的表达式为:y=﹣

2)设点Qmn),则n=﹣m2m+,点Ps,﹣1),

①当AC是平行四边形的一条边时,

C向下平移个单位得到A

同样,点QP)向下平移个单位得到PQ),

故:msn+1=﹣1,或m+sn1=﹣1,且n=﹣m2m+

解得:m或﹣213(舍去1),

s0或﹣22或﹣

故点P0,﹣1)或(﹣22,﹣1)或(﹣,﹣1);

②当AC是平行四边形对角线时,

1m+sn1,解得:方程无解;

综上,故点P0,﹣1)或(﹣22,﹣1)或(﹣,﹣1);

3)作点M关于直线AC的对称轴M,连接BM交直线AC于点P,则点P为所求,

连接MC,∵点MC的纵坐标相同,故CMx轴,过点MMC的垂线交MC的延长线于点H,连接CM

直线AC的倾斜角为60°,则∠OCA=∠CMM30°=∠CMM,则CM2CM

则∠MCH60°,故CHCM1,则MH,故点M为(12);

将点AC的坐标代入一次函数表达式:ykx+b并解得:

直线AC的表达式为:y=﹣x+

同理直线BM的表达式为:yx+

联立ACBM的函数表达式并解得:x=﹣

故点Q(﹣).

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