【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点M(﹣2,),顶点坐标为N(﹣1,),且与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P为直线y=﹣1上的动点,Q是抛物线线上的动点,若以A,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐标;
(3)在直线AC上是否存在一点Q,使△QBM的周长最小?若存在,求出Q点坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣;(2)点P(0,﹣1)或(﹣2﹣2,﹣1)或(﹣,﹣1);(3)存在,点Q(﹣).
【解析】
(1)抛物线的表达式为:y=a(x+1)2,将点M的坐标代入上式,即可求解;
(2)分AC是平行四边形的一条边、AC是平行四边形对角线两种情况,分别求解即可;
(3)作点M关于直线AC的对称轴M′,连接BM′交直线AC于点P,则点P为所求,即可求解.
解:(1)抛物线的表达式为:y=a(x+1)2,
将点M的坐标代入上式得:=a(﹣2+1)2,解得:a=﹣,
故抛物线的表达式为:y=﹣;
(2)设点Q(m,n),则n=﹣m2﹣m+,点P(s,﹣1),
①当AC是平行四边形的一条边时,
点C向下平移个单位得到A,
同样,点Q(P)向下平移个单位得到P(Q),
故:m﹣=s,n+1=﹣1,或m+=s,n﹣1=﹣1,且n=﹣m2﹣m+,
解得:m=或﹣2﹣或1或3(舍去1),
故s=0或﹣2﹣2或﹣,
故点P(0,﹣1)或(﹣2﹣2,﹣1)或(﹣,﹣1);
②当AC是平行四边形对角线时,
1=m+s,=n﹣1,解得:方程无解;
综上,故点P(0,﹣1)或(﹣2﹣2,﹣1)或(﹣,﹣1);
(3)作点M关于直线AC的对称轴M′,连接BM′交直线AC于点P,则点P为所求,
连接MC,∵点M、C的纵坐标相同,故CM∥x轴,过点M′作MC的垂线交MC的延长线于点H,连接CM′,
直线AC的倾斜角为60°,则∠OCA=∠CMM′=30°=∠CM′M,则CM=2=CM′,
则∠M′CH=60°,故CH=CM′=1,则M′H=,故点M′为(1,2);
将点A、C的坐标代入一次函数表达式:y=kx+b并解得:
直线AC的表达式为:y=﹣x+;
同理直线BM′的表达式为:y=x+;
联立AC、BM′的函数表达式并解得:x=﹣ ,
故点Q(﹣).
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【题目】如图,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,则下列各式正确的是( )①AD2=BDDC;②CD2=CFCA;③DE2=AEAB;④AEAB=AFAC.
A.①②B.①③C.②④D.③④
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【题目】已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AE是角平分线,BM平分∠ABC交AE于点M,经过B,M两点的⊙O交BC于点G,交AB于点F,FB恰为⊙O的直径.
(1)求证:AE与⊙O相切;
(2)当BC=4,cosC=时,求⊙O的半径.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E是对角线AC上任意一点,F是线段BC延长线上一点,且CF=AE,连接BE、EF.
(1)如图1,当E是线段AC的中点,且AB=2时,求△ABC的面积;
(2)如图2,当点E不是线段AC的中点时,求证:BE=EF;
(3)如图3,当点E是线段AC延长线上的任意一点时,(2)中的结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
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【题目】已知关于x的一元二次方程:x2﹣(m﹣3)x﹣m=0
(1)证明原方程有两个不相等的实数根;
(2)若抛物线y=x2﹣(m﹣3)x﹣m与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,则A,B两点间的距离是否存在最大或最小值?若存在,求出这个值;若不存在,请说明理由.(友情提示:AB=|x1﹣x2|)
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【题目】“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答.
如图所示,底座上A,B两点间的距离为90cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm,高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°,高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°.求高、低杠间的水平距离CH的长.(结果精确到1cm,参考数据sin82.4°≈0.991,cos82.4°≈0.132,tan82.4°≈7.500,sin80.3°≈0.983,cos80.3°≈0.168,tan80.3°≈5.850)
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b与反比例函数y=(m≠0)的图象交于点A(3,1),且过点B(0,﹣2).
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)如果点P是x轴上一点,且△ABP的面积是3,求点P的坐标.
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【题目】端午节那天,小贤回家看到桌上有一盘粽子,其中有豆沙粽、肉粽各1个,蜜枣粽2个,这些粽子除馅外无其他差别.
(1)小贤随机地从盘中取出一个粽子,取出的是肉粽的概率是多少?
(2)小贤随机地从盘中取出两个粽子,试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果,并求出小贤取出蜜枣粽的概率.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,E为边AD的中点,点F在边CD上,且∠BEF=90°,延长EF交BC的延长线于点G.
(1)求证:△ABE∽△EGB.
(2)若AB=4,求CG的长.
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