Question

7．在等边△ABC中，D为线段BC上一点，CE是∠ACB外角的平分线，∠ADE=60°，EF⊥BC于F．求证：
（1）AD=DE；
（2）BC=DC+2CF．

Answer 1

分析 （1）过D作DG∥AC交AB延长线于G，证得△AGD≌△DCE，得出AD=DE；
（2）进一步利用GD=CE，BD=CE得出BC=DC+2CF．

解答 证明：（1）如图，

过D作DG∥AC交AB于G
∵△ABC是等边三角形，AB=BC，
∴∠B=∠ACB=60°
∴∠BDG=∠ACB=60°，
∴∠BGD=60°
∴△BDG是等边三角形，
∴BG=BD
∴AG=DC
∵CE是∠ACB外角的平分线，
∴∠DCE=120°=∠AGD
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠EDC=120°=∠ADB+∠DAG
∴∠EDC=∠DAG，
在△AGD和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AGD=∠DCE}\\{AG=DC}\\{∠EDC=∠DAG}\end{array}\right.$，
∴△AGD≌△DCE（SAS）
∴AD=DE
 （2）∵△AGD≌△DCE，
∴GD=CE，
∴BD=CE
∴BC=CE+DC=DC+2CF．

点评 此题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定，关键是利用边角关系以及等量代换求得结论．