Question

【题目】如图，CD是⊙O的直径，OB⊥CD交⊙O于点B，连接CB，AB是⊙O的弦，AB交CD于点E，F是CD的延长线上一点且AF＝EF．

（1）判断AF和⊙O的位置关系并说明理由．

（2）若∠ABC＝60°，BC＝1cm，求阴影部分的面积．（结果保留根号）．

Answer 1

【答案】（1）AF和⊙O相切．理由见解析；（2）cm2

【解析】

（1）连结OA，如图，由AF=AE得∠FAE=∠FEA，再利用对顶角相等和∠OBA=∠OAB可得∠OAB+∠FEA=90°，即∠OAF=90°，则OA⊥AF，然后根据切线的判定定理可判断AF为⊙O的切线；
（2）先判断△OBC为等腰直角三角形得到OB的长，再利用圆周角定理得到∠AOC=2∠ABC=120°，则∠AOF=180°-∠AOC=60°，接着根据正切定义计算得到AF，然后根据三角形面积公式和扇形面积公式，利用S阴影部分=S△OAF-S扇形AOD进行计算．

解：(1)AF和⊙O相切．

理由如下：

连结OA，

∵AF=AE，∴∠FAE=∠FEA，∵∠FEA=∠OEB，∴∠FAE=∠OEB，

∵OB⊥CD，∴∠BOE=90°，∴∠OBE+∠OEB=90°，

而OB=OA，∴∠OBA=∠OAB，

∴∠OAB+∠FEA=90°，即∠OAF=90°，

∴OA⊥AF，∴AF为⊙O的切线；

(2)∵OB⊥CD，而OB=OC，∴△OBC为等腰直角三角形，∴OB= BC=，

∵∠AOC=2∠ABC=2×60°=120°，∴∠AOF=180°-∠AOC=60°，

在Rt△OAF中，∵tan∠AOF=AF/AO，

∴AF=，

∴S阴影部分=S△OAF-S扇形AOD

=××-

=（cm2）