Question

已知∠MON=90°，点A，B分别是OM，ON上的动点．
（1）如图（1），若P₁是∠OAB和∠OBA的平分线的交点，则∠BP₁A的大小是否发生变化？若不变，则∠BP₁A为多少度？
（2）如图（2），若P₂是∠BAO和△OBA的外角∠OBD的平分线的交点，则∠BP₂A的大小是否发生变化？为什么？

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）先根据∠MON=90°得出∠OBA+∠OAB的度数，再由P₁是∠OAB和∠OBA的平分线的交点即可得出∠BP₁A的度数；
（2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠OBD=∠OAB+∠MON，∠P₂BD=∠AP₂B+∠P₂AB，再根据角平分线的定义∠BAP₂=

1

2

∠OAB，∠P₂BD=

1

2

∠OBD，代入整理即可得到∠AP₂B=

1

2

∠MON=45°．

解答：解：（1）∵∠MON=90°，
∴∠OBA+∠OAB=90°．
∵P₁是∠OAB和∠OBA的平分线的交点，
∴∠ABP₁+∠BAP₁=

1

2

×（∠OBA+∠OAB）=

1

2

×90°=45°
∴∠BP₁A=180°-（∠ABP₁+∠BAP₁）=180°-45°=135°；

（2）∠BP₂A的大小不变．
理由：∵AP₂平分∠OAB，
∴∠BAP₂=

1

2

∠OAB，
∵BP₂平分∠OBD，
∴∠P₂BD=

1

2

∠OBD，
∵∠OBD=∠MON+∠OAB，∠P₂BD=∠AP₂B+∠BAP₂，
∴∠ABP₂=∠P₂BD-∠BAP₂=

1

2

（∠MON+∠OAB）-

1

2

∠OAB=

1

2

∠MON=

1

2

×90°=45°．

点评：本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．