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【题目】如图所示,在正方形ABCD中,M是AB的中点,E是AB的延长线上一点,MNDM,且交CBE的平分线于点N.

(1)求证:MD=MN;

(2)若将上述条件中“M是AB的中点”改成“M是AB上任意一点”,其余条件不变,如图所示,则结论MD=MN”还成立吗?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.

【答案】(1)证明:如图所示,取AD的中点F,连接MF.

M是AB的中点,F是AD的中点,

AB=AD,AF=AM=DF=MB,

∵∠1=45°,∴∠DFM=135°.

BN平分CBE,∴∠CBN=45°.

∴∠MBN=135°,∴∠MBN=DFM.

MNDM,∴△DMN=90°,∴∠NMB+DMA=90°.

∵∠A=90°,∴∠ADM+DMA=90°.

∴∠NMB=ADM.

∴△DFM≌△MBN.MD=MN.

(2)MD=MN仍成立.

证明:如图,在AD上取点F,使AF=AM,连接MF.

(1)中证法可得DF=BM,DFM=MBN,FDM=BMN,

∴△DFM≌△MBN,MD=MN.

【解析】(1)证MD=MN,可证它们所在的三角形全等,易知MN在钝角MBN中,而MD在直角AMD中,显然需添加辅助线构造全等三角形,由MBN的特征想到可在AD上取AD的中点F,构造MDF;(2)可参照第(1)题的方法论证.

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朝下数字

1

2

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出现的次数

16

20

14

10

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2)点A运动t秒后所在位置的点表示的数为 ;点B运动t秒后所在位置的点表示的数为 ;(用含t的代数式表示)

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