Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，2），点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l，交抛物线于点Q．

（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线BD的解析式；
（3）当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M，是否存在点P，使得四边形CQMD是平行四边形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意可得 ，解得 ，

∴抛物线解析式为y=﹣ x2+ x+2

（2）

解：∵点C与点D关于x轴对称，

∴D（0，﹣2），

∴可设直线BD解析式为y=kx﹣2，

把B（4，0）代入可得4k﹣2=0，解得k= ，

∴直线BD的解析式为y= x﹣2

（3）

解：如图所示，

设Q（m，﹣ m2+ m+2），则M（m， m﹣2），

∴QM=﹣ m2+ m+2﹣（ m﹣2）=﹣ m2+m+4，

∵QM∥CD，

∴当QM=CD时，四边形CQMD是平行四边形，

∴﹣ m2+m+4=4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=2，

∴当m=2时，四边形CQMD是平行四边形

【解析】（1）由A、B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）由对称性可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线BD的解析式；（3）用m可表示出M、Q的坐标，则可表示出QM的长，由平行四边形的性质可知QM∥CD且QM=CD，则可得到关于m的方程，可求得m的值．