Question

如图1，已知抛物线y=-x²+bx+c经过点A（1，0）和点C（0，3），该抛物线与x轴的另一个交点为B，顶点是D．
（1）求此抛物线的解析式和顶点D的坐标；
（2）求△ACD的面积；
（3）如图2，在直线y=-2x上有一动点E，过E作直线EF∥y轴，交该抛物线于点F，以E、F、C、O为顶点的四边形是平行四边形，求E点的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可，再把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点D的坐标；
（2）利用待定系数法求出直线AD的解析式，设AD与y轴的交点为H，然后求出CD的长度，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解；
（3）根据二次函数解析式与直线解析式表示出EF，然后根据平行四边形的对边平行且相等列方程求解即可．

解答：解：（1）由题意得，

-1+b+c=0 c=3

，
解得

b=-2 c=3

，
所以，二次函数解析式是y=-x²-2x+3，
∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴D点的坐标是（-1，4）；

（2）设AD的解析式为y=kx+b，
则

k+b=0 -k+b=4

，
解得

k=-2 b=2

，
所以，直线AD的解析式为y=-2x+2，
设AD与y轴的交点为H，则CH=3-2=1，
所以，S_△ACD=

1

2

×1×（1+1）=1；

（3）如图，设E点的坐标是（x，-2x），则F点的坐标是（x，-x²-2x+3），
EF=|-x²-2x+3+2x|=|x²-3|，
∵OC∥DE，
∴要使以F、E、C、O为顶点的四边形是平行四边形时，只要EF=OC，
∴|x²-3|=3，
∴x²-3=3或x²-3=-3，
解得x=±

6

，x=0（舍去），
当x=

6

时，y=-2x=-2

6

，
当x=-

6

时，y=-2x=2

6

，
所以，点E的坐标为（

6

，-2

6

）或（-

6

，2

6

）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，平行四边形的对边平行且相等的性质，难点在于（3）列出绝对值方程．