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【题目】已知如图,在矩形ABCD中,AB=6cmBC=8cm,对角线ACBD交于点0.点P从点A出发,沿AD方向向终点D匀速运动,速度为cm/s;同时,点Q从点D出发,沿DC方向向终点C匀速运动,速度为1cm/s;当一个点停止运动时,另一个点也停止运动.连接PO并延长,交BC于点E,过点QQF//AC,交BD于点F.设运动时间为ts),解答下列问题:

1)当t为何值时,△AOP是等腰三角形?

2)设五边形OECQF的面积为Scm2),试确定St的函数关系式;

3)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使S五边形S五边形OECQFSACD=916?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;

【答案】(1) t=t=5 (2) S= (3) t=3t=

【解析】

1),根据矩形的性质和勾股定理得到AC=10cm,①当AP=PO=t,过PPMAO,从而得到AM,证明APM∽△ACD,根据相似三角形的性质得到AP=t的值,再根据题意直接得到第二种满足题意的t值;

2),过点OOHBCBC于点H,根据矩形的性质证明DOP≌△BOE,得到BE=PD=8-t,从而得到BOE的面积;

根据FQAC,证得DFQ∽△DOC,由相似三角形的面积比可求得DFQ的面积,从而可求五边形OECQF的面积;

3),由(2)可得五边形OECQF的面积,根据S五边形OECQFSACD=9:16列方程,对方程进行求解即可得出结论.

1)∵在矩形ABCD中,AB=6cmBC=8cm

AC=10cm

①当AP=PO=t,如图1

PPMAO

AM=AO=.

∵∠PMA=ADC=90°,∠PAM=CAD

∴△APM∽△ACD

AP=t=

②当AP=AO=t=5时,AOP为等腰三角形.

综上所述,当t5时,AOP是等腰三角形.

2)过点OOHBCBC于点H,则OH=CD=AB=3cm

由矩形的性质可知∠PDO=EBODO=BO,又得∠DOP=BOE

∴△DOP≌△BOE

BE=PD=8-t

SBOE=BE·OH=×3×(8-t)=12-t.

FQAC

∴△DFQ∽△DOC,相似比为

SDOC=S矩形ABCD=×6×8=12

SDFQ==

S五边形OECQF=SDBC-SBOE-SDFQ=

St的函数关系式为S=

3)存在.

SACD=×6×8=24

S五边形OECQFSACD=():24=9:16

解得t=3t=

t=3时,S五边形OECQF:SACD=9:16.

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